Cálculo del grupo fundamental de la botella de Klein

Question

Quiero calcular la botella Klein.

Así que lo hice por el Teorema de Van Kampen. Sin embargo, cuando estoy atascado en esta parte. Entonces quito un punto de la botella de Klein para obtener $\mathbb{Z}\langle a,b\rangle$ donde $a$ y $b$ son dos bucles conectados por un punto.

También tienes el mapa de límites que va $abab^{-1}=1$ Así que hice algunos cálculos y obtuve básicamente esto $\dfrac{\mathbb{Z}\langle ab,b\rangle}{\langle(ab)^2=b^2\rangle}$ .

Pero, no creo que eso sea correcto. Pero, sí ¿cómo se calcula el grupo fundamental de la botella de Klein?

Answer 1

La respuesta corta es que su presentación es isomorfa a la presentación (un poco más) "estándar" - por lo que computó una respuesta correcta.

Más detalles -

Según Wolfram y utilizando $K$ para denotar la botella de Klein, tenemos $\pi_1(K) \cong \langle c,d \rangle/cdc^{-1}d$ mientras que tú tienes (según el comentario de Aaron Mazel-Gee) $\pi_1(K)\cong \langle a,b\rangle /abab^{-1}$ .

La pregunta es, entonces, ¿son isomórficos?

Bueno, tenemos $cdc^{-1}d = e$ por lo que, tomando la inversa de ambos lados se obtiene $d^{-1}cd^{-1}c^{-1} = e$ . Pero esto tiene la misma forma que la relación entre $a$ y $b$ por lo que ahora el isomorfismo es claro: mapeamos $a$ a $d^{-1}$ y $b$ a $c$ .

Es decir, definir $f:\langle a,b \rangle /abab^{-1}\rightarrow \langle c,d\rangle/cdc^{-1}d$ por $f(a) = d^{-1}$ y $f(b) = c$ .

Afirmo que esto está bien definido, ya que \begin{align*} f(abab^{-1}) &= f(a)f(b)f(a)f(b)^{-1} \\\ &= d^{-1}cd^{-1}c^{-1} \\\ &= (cdc^{-1}d)^{-1} \end{align*} como debería. (Técnicamente, estoy definiendo $f$ en $\langle a,b\rangle$ y demostrando que desciende al cociente).

Finalmente, en lugar de mostrar que esto es 1-1 y sobre, en su lugar, mostrar que $g:\langle c,d\rangle/ cdc^{-1}d\rightarrow \langle a,b\rangle/ abab^{-1}$ definido por $g(c) = b$ y $g(d) = a^{-1}$ está bien definida, y la inversa de $f$ Así que $f$ es el isomorfismo deseado.