¿Se cumple el teorema del descenso de nivel de Ribet para las potencias primarias?

Question

En mis investigaciones suelo utilizar el siguiente teorema (que se puede enunciar de forma más general).

Sea E/Q una curva elíptica de conductor N correspondiente a una forma modular f(E), l un primo de reducción bueno o multiplicativo para E, y \rho (l) la representación de Galois de 2 dimensiones mod l dada por la acción sobre los puntos de torsión l. Supongamos que el subesquema de torsión E[l] se extiende a un esquema de grupo plano finito sobre Z_l, y sea p un primo de reducción multiplicativa para E tal que \rho (l) es unramificado en p (por ejemplo, el campo numérico (Q(E[l]) generado por las coordenadas de los puntos de l-torsión es unramificado en p). Entonces existe una forma modular f de conductor N/p tal que f es congruente con f(E) mod l (cuando f tiene coeficientes de Fourier sobre Z entonces esto significa que todos pero finitamente muchos de los coeficientes son congruentes mod l); uno puede `bajar el nivel' de N a N/p.

¿Este resultado es válido para las potencias de los primos? Por ejemplo, si esto se mantiene para la representación mod l^n (en lugar de la mod l) ¿se obtiene una congruencia mod l^n?

Answer 1

Si te pones en una posición en la que se cumple un teorema R=T en el nivel N/p (por ejemplo, E[ell] irreducible, imagen grande, ell>2), entonces obtendrás un mapa de un álgebra de Hecke en el nivel N/p a Z/ell^nZ. Pero en general no veo por qué este homomorfismo de anillo debería elevarse a un homomorfismo de T a un dominio integral de char 0 y apostaría por contraejemplos si fuera un apostador.

Answer 2

Un caso en el que se puede decir un poco más es si el número de congruencia en el nivel $N/p$ es coprima de $l$ . En concreto, si $f(E)$ es congruente con una única forma modular $g$ en el nivel $N/p$ modulo $l$ entonces se puede decir que $f(E)$ es congruente con $g$ modulo $l^n$ .

Answer 3

Hay algunas diapositivas de una charla de Ian Kiming aquí que discuten esta cuestión. Enuncia un teorema (en la diapositiva número 8) correspondiente a la existencia del mapa de un álgebra de Hecke de nivel N/(p^u) (donde p^u es la mayor potencia de p que divide a N) a Z/ell^n Z. Como dice Buzzard, no está claro que este mapa se levante, pero Kiming especula que si se permite que el peso de su forma modular varíe se puede encontrar un levantamiento char 0.