La densidad de conjunto de las diferencias de cubos y los primos

Question

Consideremos el conjunto a $A$ de los números naturales que son de la forma $k^3-p$ $k$ un entero positivo y $p$ positivo prime. Qué $A$ tienen una densidad (de cualquier tipo habitual para los conjuntos de números naturales) y si es así, ¿qué es?

$A$ contiene una gran cantidad de números, y parece un poco difícil para mí para demostrar que un determinado número no está en $A$, salvo que la mayoría de los cubos no están en $A$.

Answer 1

Un enfoque ingenuo sería decir que la probabilidad de $n$ es igual a $k^3-p$ para un determinado $k$ es de alrededor de $\frac{1}{\ln(k^3-n)}$. Entonces las posibilidades de $n$ no es igual a $k^3-p$ cualquier $k$ $$\prod_{k=\sqrt[3]{n}}^\infty {1-\frac{1}{\ln(k^3-n)}}$ $ como este llega a cero, "todos" los números deben estar en la A.