Estaba atascado tratando de calcular el grupo de Galois de $x^5 + 99x -1$ . El problema consiste en calcular el grupo de Galois sobre $\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_3, \mathbb{F}_5, \mathbb{F}_{11}$ y $\mathbb{Q}$ . Pude manejar los casos de campos finitos: Creo que los campos de división son $\mathbb{F}_{2^{5}}/ \mathbb{F}_2$ , $\mathbb{F}_{3^4}/ \mathbb{F}_3$ , $\mathbb{F}_{5^{5}}/ \mathbb{F}_5$ y $\mathbb{F}_{11}/ \mathbb{F}_{11}$ . Sin embargo, estoy atascado en el $\mathbb{Q}$ caso.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Andreas Caranti
Puntos
35676
Deje $E$ ser la división de campo de la $f = x^5 + 99x -1$$\Bbb{Q}$. Deje $G = \operatorname{Gal}(E/\Bbb{Q})$.
No es un resultado importante de Dedekind que dice lo siguiente.
Reducir el monic polinomio con coeficientes enteros $f$ modulo de un primer $p$. El grupo de Galois $G_p$ de la división de campo de más de $\Bbb{F}_{p}$ (la reducción del modulo $p$) $f$ será cíclico, a continuación,. Escribir el generador de $G_p$ como una permutación, en la forma de un producto de ciclos disjuntos.
A continuación, prestados $p$ no dividir el discriminante de $f$, el grupo de Galois $G$, considerado como un grupo de permutaciones de las raíces de la $f$, contiene una permutación con la misma estructura como un producto de ciclos disjuntos. Aquí el discriminante sería $2434534530869$, que se descompone como $7^{2}\cdot 107 \cdot 464339983$, pero es más simple para comprobar que no hay múltiples raíces módulo los varios primos estamos comprobando.
Así que con $p = 2$ se encuentra en $G$ el producto de una $3$-ciclo y un $2$-ciclo, con $p = 3$ $4$- ciclo y con $p = 5$ $5$- ciclo. He utilizado la BRECHA para hacer estos cálculos (incluyendo el discriminante de arriba), la división de $f$ en factores irreducibles sobre cada una de las $\Bbb{F}_{p}$. Los grados de estos factores decir que los ciclos de longitudes que aparecen al escribir la permutación como producto de ciclos disjuntos.
Esto le da a usted que $G$ ha pedido en menos $\operatorname{lcm}(6,4,5) = 60$, pero contiene permutaciones impares, por lo que no $A_5$, lo $G = S_5$.
Restricción de errores, como de costumbre.
