convergencia puntual de las series de Fourier

Question

Estoy un poco confundido. Hoy he oído decir a alguien que la serie de Fourier de cualquier función periódica continua $f$ , digamos que con periodo 1 para concretar, converge puntualmente a $f$ . Wikipedia aquí dice explícitamente lo contrario, pero afirma que la prueba no es constructiva y algo avanzada. Entonces, ¿de qué se trata?

Tengo que pedir disculpas por esta pregunta, ya que podría coger cualquier libro sobre el análisis de Fourier y comprobarlo por mí mismo, pero como la respuesta es un simple "sí" o "no" espero que no sea mucho esfuerzo responder a esto para alguien que sepa la respuesta.

Answer 1

Véase el teorema 2.2 en este pdf que demuestra (la prueba no es realmente completa) que existe una función continua periódica con series de Fourier divergentes en algún punto. El primer ejemplo de una función de este tipo fue dado por DuBois-Reymond en 1873, entretanto esto ha sido incluso ampliado (véase la nota de la página 13):

Para cada conjunto nulo $N \subset ]-\pi,\pi]$ existe una función continua periódica para la que la serie de Fourier es divergente en cada punto de $N$ .

Se muestra en Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis. Wiley 1968.