Estoy enseñando una clase de Cálculo y estamos terminando de encendido/series de Taylor de esta semana. La última sección de este capítulo está en las aplicaciones, pero los únicos que se muestran estén aproximación de no-números racionales como $\sqrt{1.02}$ e informática límites como $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Me gustaría encontrar mejores ejemplos que pueden o no pueden tener una rápida aplicación física (no puedo asumir que sepan que toda la física más allá de lo que puedo explicar). Entonces, mi pregunta es, ¿alguno de ustedes sabe algunas aplicaciones de la serie de Taylor que me podría pasar tal vez una media hora a cuarenta y cinco minutos haciendo? Ellos no tienen que ser las aplicaciones físicas, sólo interesante. Ya he hecho la fórmula de Euler. Además, no estamos de acuerdo con el resto teoremas en esta clase. Gracias.
Respuestas
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No exactamente sobre el poder de Taylor de la serie, pero usted podría utilizar la serie de Taylor para $f(x) = e^x$ que $e$ es irracional.
Supongo que los estudiantes saben cómo sum (finito/infinito) serie geométrica. Usted puede decirles que la infinita serie geométrica puede ser visto como la expansión de Taylor de la función $\frac{1}{1-x}$: $$ \frac{1}{1-x} = 1+ x + x^2 + x^3 + \cdots. $$ La integración término a término (no siempre es válida!), $$ -\ln (1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots, $$ que no es sino la expansión de Taylor de la función $\ln(1+x)$. (Por supuesto, usted puede provenir también de la expansión de Taylor directamente, si lo prefiere.) Por último, conectar $x=-1$ (una vez más, en realidad no válida!), queremos obtener la suma de la serie armónica alternante: $$ \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. $$
Hay muchos injustificada pasos en el por encima de la derivación, sino que da una genial demostración de poder y series de Taylor de las expansiones.
Aquí es una aplicación interesante de potencia de la serie; por desgracia, uno tendría que molestarse con el resto para hacer lo que realmente interesantes.
$$\arctan(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1} \,.$$
Enchufe $x= \frac{1}{\sqrt 3}$ ($1$ también funcionaría, pero uno tendría que explicar por qué esta fórmula también tiene en el punto final del intervalo). Obtenemos:
$$\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n2n+1} \,.$$
El lado derecho es una corriente alterna de la serie que converge muy rápido, así que usted puede utilizar para calcular el $\pi$ con 5 ó 6 dígitos. Y es alterna, que significa que usted podría utilizar la Alternancia de la Serie estimación del error.
Usted también puede hacer lo mismo para la serie de Taylor de $e^x$.
