Resolver esta Ecuación Diophantine: $a^3-b^3 = ab+61$

Question

"resolver esta ecuación diophantine: $a^3-b^3 = ab+61$"

Para Diophantine Ecuaciones siempre he tenido la pregunta en el formulario de $ax+by = c$ y resuelto a través de Algoritmo de Euclides Extendido. Sin embargo, esta cuestión no está formateado en tal manera.

Lo que estoy pensando es que nos movemos $ab$ a del lado izquierdo de modo que podemos tener una sola constante en el lado derecho. Tal vez entonces podríamos ampliar? No estoy seguro. Sugerencias/Consejos es lo que estoy buscando.

Tal vez podemos sustituir el $a$ $b$ con algo más de un formulario en el que me siento más cómodo? No estoy realmente seguro.

Answer 1

Encontrar todos los enteros soluciones a la ecuación de $a^3-b^3=ab+61$ es igual a la solución de la ecuación de diophantine $a^3-ab-b^3=61$, y la colocación de $-b$ en lugar de $b$ da $a^3+ab+b^3=61$.

Puesto que la ecuación anterior es simétrico ( es decir, el valor no cambia incluso si podemos cambiar la posición de las variables a y b), puede ser expresado con la suma y el producto de a y b. Deje que c=a+b y d=ab. Entonces la ecuación cuadrática $t^2-ct+d$ tiene dos ceros, es decir, a y b. Por lo tanto, el discriminante $D=c^2-4d≥0$, que los rendimientos de $d\le \frac {c^2}{4}$ ( y, por supuesto,$c, d \in\mathbb Z$). Además, $a^3+ab+b^3=61 \iff a^3+b^3+ab=61$

$\iff (a+b)^3-3(a+b)ab+ab=61$

$\iff c^3-3cd+d=61$

$\iff d=(c^3-61)/(3c-1)$

Desde $d \in\mathbb Z$, $27d = \frac{27c^3-1647}{3c-1} \in\mathbb Z$.

Pero entonces, $\frac{1646}{3c-1} \in\mathbb Z$, debido a $\frac{27c^3-1647}{3c-1} = 9c^2+3c+1\in\mathbb Z$. Esto significa que $3c-1$ debe dividir $1646=2\cdot 823$ (823 es una de las principales). Por lo $3c-1$ puede ser 1, 2, 823, 1646, -1, -2, -823, o -1646. A continuación, $3c$ puede ser 2, 3, 824, 1647, 0, -1, -822, o -1645. Puesto que c es un número entero, los únicos valores posibles de c son c=0, 1, 549. Esto nos da la par $(c,d) = (0,61), (1, -30), (549, 100528)$, y la única pareja que $d\le \frac{c^2}{4}$ mantiene es $(1, -30)$. Por lo tanto, $c=1$$d=-30$, y de ello se sigue que a y b son los dos ceros de la ecuación cuadrática $x^2-x+30=0$. Ahora podemos concluir que las únicas soluciones a la ecuación de Diophantine $a^3+ab+b^3=61$$(a, b) = (6, -5), (-5, 6)$.

Answer 2

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=ab+61$$ $$\implies a^2+ab+b^2 \le \mid ab+61\mid$$ El caso negativo dentro del valor absoluto fácilmente conduce a una contradicción, por lo que ahora tenemos $$a^2+b^2\le61$$ Estos son un número finito de casos para comprobar(tener menos aún si tenemos en cuenta que $a\ge b$ y $(a,b)=1$ (por qué?)), así que terminamos con $a=6,b=5;a=-5,b=-6$.