¿Holomorphic una.e. y continua implica holomorphic en todas partes?

Question

Supongamos $D$ es un dominio en $\mathbb{C}$, $f:D\rightarrow \mathbb{C}$ es una función continua.

Supongamos $f$ es holomorphic fuera el ajuste a cero de la $f^{-1}(0)$, e $f^{-1}(0)$ tiene medida de Lebesgue cero.

Pregunta: Es $f$ holomorphic en todo el dominio $D$ o no?

El punto que estoy confundido, es que parece que $f$ es débilmente holomorphic función, pero no puedo demostrarlo. Débilmente holomorphic corresponde a $\int_D f\cdot\partial_{\bar{z}}\phi=0$ por cada $\phi\in C_c^\infty(D)$, pero sólo puedo demostrar que $\int_D f\cdot\partial_{\bar{z}}\phi=0$ por cada $\phi\in C_c^\infty(D-K)$ donde $K:=f^{-1}(0)$.

Cualquier respuesta o comentario es bienvenido. Realmente aprecio su ayuda.

Answer 1

Usted incluso no tiene que suponer que el ajuste a cero de $f$ tiene medida cero. El resultado es conocido como Radó del teorema: Una función continua que es holomorphic fuera de su puesta a cero se holomorphic.

Fue sorprendentemente difícil encontrar una referencia en línea, pero aquí hay uno: Una prueba simple de Radó del teorema.