Serie Infinita -: $\psi(s)=\psi(0)+\psi_1(0)s+\psi_2(0)\frac{s^2}{2!}+\psi_3(0)\frac{s^3}{3!}+.+.+ $.

Question

Tenemos un sistema dado de convergencia de la serie a través de derivados y matrices(Analógica a la de Taylor (serie)

$\psi(s)_{3 \times 3}=\psi(0)+\psi_1(0)s+\psi_2(0)\frac{s^2}{2!}+\psi_3(0)\frac{s^3}{3!}+..+.. \tag 1$.

(Tenga en cuenta el importe de las convenciones utilizadas en este caso $\frac{\mathrm{d}^2 \psi(s) }{\mathrm{d} s^2}=\psi_2(s),\frac{\mathrm{d}^p \psi(s) }{\mathrm{d} s^p}=\psi_p(s) $)

Dado Observación y recogida de datos en la pregunta

1. Se da eso $ \psi_2(s)=(A+Bs)\psi_1(s)\tag 2$

   donde a,B son constantes $3 \times 3$ sesgar simétrica matrices con determinante $0$ $$A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -c_0 & b_0 \\ c_0 & 0 & -a_0 \\ -b_0 & a_0 & 0 \\ \end{array} \right).$$

   $$B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -c_1 & b_1 \\ c_1 & 0 & -a_1\\ -b_1 & a_1 & 0 \\ \end{array} \right).$$ Nota : Todas las entradas de las matrices $A$, $B$ son constantes,no puede ser alterado

2. $\psi_1(0)$ ha determinante $1$ y ortogonales. No hay información sobre la misma propiedad en otros derivados.

3. $\psi_1(0),\psi(0)$, se dan

Pregunta

1. Podemos volver a escribir la ecuación (1) como $\psi(s)_{3 \times 3}=\tau(s)_{3 \times 3} \psi_1(0)+\psi(0) \tag 3$?

2. Podemos volver a escribir $\psi(s)_{3 \times 3}$ en un finito forma Cerrada sumando todos los términos?

   NB :: Significa lo que podría ser la función finita $\tau(s)$, el cual es definido con cualquiera de los derivados de $\psi(s)$. Implica que usted puede escribir $\tau(s)$ $A,B,s$ como por su comodidad . Por favor revise mis intentos para resolverlo como respuestas a continuación. Si usted tiene otra idea puede escribir uno nuevo

INTENTO #1#Responder

Cuando se mira la relación de $ \psi_2(s)=(A+Bs)\psi_1(s) $ podemos hacer recursividad fuera de ella

$\psi(0)_n=A\psi(0)_{n-1}+(n-2)B \hspace{.2cm}\psi(0)_{n-2}\tag 4$

Por simplicidad me deja escribir $y_n=\psi(0)_n,C_1=A,C_2=B$,porque vamos a hacer la recursividad en n. Todos los s basados en variables son ahora convertido en constante

$y_n = \left\{ \begin{array}{ll} \psi_1(0) & \mbox{if } n = 1 \\ C_1\psi_1(0)& \mbox{if }n=2\\ C_1y_{n-1}+(n-2)C_2 y_{n-2} & \mbox{if }n> 2\\ \end{array} \right.\etiqueta 5$

Pregunta 1

• Encontrar la solución de la recursividad en la ecuación (5). La solución puede contener términos iniciales $y_1,y_2$(como la mayoría de la recursividad de la solución), entonces sustituto para cada uno de los $y_n$. Entonces usted puede tomar $y_1$ como se menciona en la pregunta.Usted puede necesitar para resolver la serie infinita después de sacar $y_1$. Estoy tratando de resolverlo. Hasta todavía no exitosa. Esperando sugerencias

Pregunta 2

Multiplicar por $x^n$ ,luego tomar la suma

$\sum_{n=1}^{\infty}y_nx^{n}= xC_1\sum_{n=2}^{\infty}y_{n-1}x^{n-1}+x^2C_2\sum_{n=3}^{\infty} (n-2)y_{n-2}x^{n-2} \tag 6 $

$\sum_{n=1}^{\infty}y_nx^n= xC_1\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}x^{n}+x^2C_2\sum_{n=1}^{\infty} n y_{n}x^{n} \tag 7 $

$\sum_{n=1}^{\infty}y_nx^n= xC_1\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}x^{n}+x^3C_2\sum_{n=1}^{\infty} n y_{n}x^{n-1} \tag 8 $

Suponga $F(x)_{3 \times 3}=\sum_{n=1}^{\infty}y_nx^n$ entonces tenemos una ODA

$ F(x)=xC_1F(x)+x^3C_2F'(x)\tag 9$

La solución de $F(x)$ va a dar la solución de la pregunta número 2.Más precisamente,$F(1)$. Pero la cuestión es que no podía encontrar una solución. Esperando sugerencias para resolverlo

Answer 1

Aquí hay algunos avances hacia una solución. Para revisar, hemos $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3\times 3}$ tal que $\psi_0=0$. (Notación: me tome $\psi_0^{(n)}:=\frac{d^n\psi}{ds^n}\bigr|_0$). Suponemos además que $\psi_0'$ es un especial ortogonal de la matriz de determinante 1) y $\psi''(s)=(A+Bs)\psi'(s)$ constante skew-matrices simétricas $A,B$. (Que tienen determinante $0$ siguiente de su skew-simetría.)

La pregunta primera pregunta si podemos encontrar $\tau:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3\times3}$ tal que $\psi(s)=\tau(s)\psi'_0$. Esto al menos es simple: Multiplicando ambos lados por $(\psi_0')^T$ y recordando que $\psi'_0$ es ortogonal, tenemos $\tau(s)=\psi(s)(\psi'_0)^T.$ $\tau(s)$ es, sin duda bien definido.

Para la segunda parte computacional de la cuestión, hemos de señalar que la inserción de la serie de Taylor $\psi(s)=\sum\limits_{k=1}^\infty \psi_0^{(k)}\dfrac{s^k}{k!}$ rendimientos $\tau(s)=\sum\limits_{k=1}^\infty C_k\dfrac{s^k}{k!}$ donde $C_k:=\psi_0^{(k)}(\psi'_0)^T$. La tarea se vuelve a caracterizar $C_k$, o mejor aún, para reanudarla la serie de forma explícita. Yo no intento de este último, y por lo tanto no consideran que esto es una solución completa.

Con un ojo hacia la comprensión de la $C_k$, se observa que la $\psi''(s)=(A+Bs)\psi'(s)$ implica $\tau''(s)=(A+Bs)\tau'(s)$. Volviendo a la serie de Taylor, tenemos

\begin{align} \sum\limits_{k=0}^\infty C_{k+2}\dfrac{s^k}{k!} &=(A+Bs)\sum\limits_{k=0}^\infty C_{k+1}\dfrac{s^k}{k!}\\ &=\sum\limits_{k=0}^\infty AC_{k+1}\dfrac{s^k}{k!} +\sum\limits_{k=0}^\infty kBC_{k}\dfrac{s^{k}}{k!}. \end{align}

La inspección de los coeficientes, somos capaces de resumir la $C_k$ $$C_1=\psi_0'(\psi_0')^T=I, C_{k+2}=AC_{k+1}+kBC_k\: \text{ for } k\geq 0.$ $ Esto es conveniente para el cálculo, y en ese espíritu la lista de los primeros términos:

$$C_1=I,\;C_2=A,\\ C_3=A^2+B,\\ C_4=A^3+AB+2BA,\\C_5=A^4+A^2B+2ABA+3BA^2+3B^2,\,...$$

Tenga en cuenta que el orden de estos términos es crucial, ya que no tienen necesidad de desplazarse. Hay un patrón interesante aquí, que es más evidente en el $C_5$ caso de que: Cada término puede ser generado por partida con $A^{n-1}=AA\ldots A$, en sustitución de pares consecutivos de $A's$$B's$, y la asignación de un total de enteros prefactor (cuya interpretación no es obvio para mí). Me recuerda a ciertas expresiones de la Mecha del teorema, pero un vínculo explícito me escapa.