Ejemplos de "transferencia a través de bijection"

Question

En algunas ocasiones me he visto en la siguiente situación: queremos averiguar si un conjunto de un determinado cardinalidad $\varkappa$ tiene algún tipo de propiedad P. Si esta propiedad es invariante bajo bijective mapas, entonces no importa qué conjunto de cardinalidad $\varkappa$ elegimos. Pero a veces la elección de un conjunto que tiene alguna estructura adicional puede hacer probando/refutar si el conjunto tiene esta propiedad.

Estoy publicando algunos ejemplos de este método como respuestas a continuación - espero que ayudan a clarificar lo que tengo en mente.

¿Sabes de otros interesantes ejemplos?

Answer 1

Supongamos que $|A|=\aleph_0$. Estamos preguntando si existe una cadena en $(\mathcal P(A),\subseteq)$ que tiene cardinalidad $\mathfrak c$.

Claramente esta propiedad es invariante bajo bijections.

Si tomamos $A=\mathbb Q$ y $$A_r=(r,\infty)\cap\mathbb Q$$ para cualquier número real $r\in\mathbb R$, $\{A_r; r\in\mathbb R\}$ es una cadena de cardinalidad $|\mathbb R|=\mathfrak c$.

Esta prueba han aparecido en una respuesta aquí.

Answer 2

Este es otro ejemplo clásico: Una familia no vacía $\mathcal I$ de los subconjuntos de a $\omega$ es independiente de la fib para cualquier pares distintos $A_1,\dots,A_k,B_1,\dots,B_l$$\mathcal I$, tenemos que $$ \bigcap_{i=1}^k A_i\cap\bigcap_{j=1}^l(\omega\setminus B_j) $$ es infinito. La cuestión de si hay una familia independiente del tamaño de la continuidad es claramente invariantes bajo la sustitución de $\omega$ con cualquier otro infinito contable, establezca $X$.

Por ejemplo, podemos tomar $X=\{(a,A)\mid a\subseteq{\mathbb N}$ es finito, y $A\subseteq{\mathcal P}(a)\}$.

Dado $S\subseteq{\mathbb N}$, vamos a $t_S=\{(a,A)\in X\mid a\cap S\in A\}$. El reclamo es que el ${\mathcal I}=\{t_S\mid S\subseteq{\mathbb N}\}$ es como quería.

Para esto, en primer lugar tenga en cuenta que $S\mapsto t_S$ es inyectiva. Ahora, supongamos $X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m$ son infinitas, de a pares distintos, los subconjuntos de a ${\mathbb N}$. Escribir $A=t_{X_1}\cap\dots\cap t_{X_n}\cap(X\setminus t_{Y_1})\cap\dots\cap(X\setminus t_{Y_m})$. Para cada una de las $i,j$$1\le i\le n$$1\le j\le m$, vamos a $\alpha_{ij}\in X_i\triangle Y_j$. Se muestra que para cualquier finito $F\supseteq\{\alpha_{ij}\mid 1\le i\le n,1\le j\le m\}$ hay un ${ \mathcal F}$ such that $(F,{\mathcal F})\en A.$ Esto demuestra el resultado.

Answer 3

Supongamos que $|A|=\aleph_0$. Estamos preguntando si existe una casi discontinuo sistema de infinitos subconjuntos del conjunto $A$, que tiene cardinalidad $\mathfrak c$. Recordemos que un sistema de $\mathcal S$ se llama casi disjuntos si $A\cap B$ es finito para cualquiera de los dos conjuntos de $A,B\in\mathcal S$ tal que $A\ne B$.

Claramente esta propiedad es invariante bajo bijections.

Si tomamos $A=\mathbb Q$, y la tomamos para cada número real $r$ una secuencia $(q_n)_{n\in\mathbb N}$ de los racionales, que converge a $r$, entonces el sistema de conjuntos de la forma $$A_r=\{q_n; n\in\mathbb N\}$$ para cada $r\in\mathbb R$ dar casi como un discontinuo de la familia de cardinalidad $|\mathbb R|=\mathfrak c$.

Casi discontinuo sistemas aparecido en varias otras preguntas en el MSE, por ejemplo aquí y aquí.

Answer 4

La partición de cálculo es una generalización de la teoría de Ramsey para el transfinito. En su configuración básica, nos preguntamos, dado ordinales $\alpha,\beta,\gamma$, si $$ \gamma\to(\alpha,\beta)^2, $$ lo que significa que si las aristas del grafo completo en $\gamma$ vértices, $K_\gamma$, son de color rojo y azul, entonces hay una red de copia de $K_\alpha$ (es decir, un subconjunto de a $\gamma$ de tipo de orden $\alpha$, cualquier borde entre dos de sus vértices en rojo), o un azul copia de $K_\beta$.

Para investigar la partición de relaciones satisfecho por los ordinales de la forma $\omega^\alpha$ $\alpha$ contables (donde la exponenciación es en el ordinal sentido), en muchos casos es conveniente trabajar no con $\omega^\alpha$ directamente, sino con algún otro conjunto que puede ser ("natural") ordenó en el tipo de $\omega^\alpha$. Por ejemplo, para $n<\omega$, normalmente trabajamos con $$ W(n)=\{(m_0,m_1,\dots,m_{n-1})\in\mathbb N^n\mid m_0<m_1<\dots<m_{n-1}\}, $$ ordenados lexicográficamente. Por supuesto, podríamos sustituir $W(n)$ con el conjunto de los subconjuntos de a $\mathbb N$ del tamaño de la $n$. Notationally, $W(n)$ es más conveniente en alguna ocasión.

Para ver cómo se usa esto, he aquí se indica más brevemente cómo Haddad y Sabbagh demostrado que $\omega^2\to(\omega^2,n)^2$ todos los $n<\omega$, un resultado de la primera debido a Specker.

Consideramos una partición de $[W(2)]^2$ en dos piezas, $A_0$ y $A_1$ ($A_0$ corresponde al rojo, y el $A_1$ a azul). El uso de esta partición de la $[\omega]^4$ en 16 pedazos $B_{ijkl}$ donde $i,j,k,l\in\{0,1\}$: Dado $\{a,b,c,d\}\in[\omega]^4$,$a<b<c<d$, ponemos a $\{a,b,c,d\}\in B_{ijkl}$ fib

• $\{(a,b),(c,d)\}\in A_i$,
• $\{(a,c),(b,d)\}\in A_j$,
• $\{(a,d),(b,c)\}\in A_k$, y
• $\{(a,b),(a,c)\}\in A_l$.

Ahora podemos invocar el teorema de Ramsey a la conclusión de que hay un infinito $H\subset\omega$ de manera tal que todas las tuplas en $[H]^4$ están en el mismo $B_{ijkl}$. Comprobación rápida de las posibilidades de $i,j,k,l$ nos da un monocromático $I\subset W(2)$ así: Si uno de $i,j,k,l$$1$, se obtiene el $I$ de cualquier tamaño finito queremos con $[I]^2$ azul. Si $i,j,k,l$ todos los $0$, entonces podemos escribir $H$ $\bigcup_n H_n$ cuando la $H_n$ son infinitas y pares distintos, y deje $I=\{(x,y)\mid x\in H_0$$y\in H_{x+1}$$x<y\}$. A continuación, $I$ tipo $\omega^2$ $[I]^2$ es todo rojo.

Aplicaciones más sofisticadas de esta idea de que representa muy bien $\omega^n$ o $\omega^\omega$ o de otras indecomposable ordinales puede verse en la obra de Jean Larson. Véase, por ejemplo, en la Parte I de estas diapositivas.

Answer 5

Particularmente, un buen uso de esta "transferencia" idea de lo que puede ser visto en la siguiente prueba de la $\Delta$-sistema de lema. Vi esto por primera vez en Sela libro sobre la forma Correcta de forzamiento. Assaf Rinot recientemente publicado el argumento en su (muy recomendable) blog.

Una versión del lema afirma que si $\kappa$ es regular innumerables cardenal, y $\mathcal A$ es una familia de conjuntos finitos, con $|\mathcal A|=\kappa$, entonces podemos encontrar una subfamilia $\mathcal B\subseteq\mathcal A$, de nuevo con $|\mathcal B|=\kappa$, que forma una $\Delta$-sistema, que se hubiere fijado un conjunto finito $r$ de manera tal que siempre que $a\ne b$ $\mathcal B$, a continuación,$a\cap b=r$.

Para probar esto, hemos de tener en cuenta que podemos muy bien suponer que los $\mathcal A\subseteq[\kappa]^{<\omega}$ (esta es la "transferencia"). Desde $\kappa$ tiene innumerables cofinality, de hecho podemos suponer que $\mathcal A\subseteq[\kappa]^n$ fijos $n$. Luego procedemos por inducción sobre $n$. El resultado es claro si $n=1$. Suponiendo que el resultado de $n$,$\mathcal A\subseteq[\kappa]^{n+1}$, nos preguntamos si para algunos $\gamma$ hay $\kappa$ elementos $a\in\mathcal A$ tal que $\gamma=\min(a)$.

Si sí, podemos substituir $\mathcal A$ $$ \mathcal A'=\{a\setminus\{\gamma\}\mid a\in\mathcal A\mbox{ and }\min(a)=\gamma\}, $ $ y el uso de la suposición inductiva para concluir.

Si no se procede de forma recursiva (utilizando ese $\kappa$ es regular): enumerar $\mathcal A=\{a_\alpha\mid \alpha<\kappa\}$. Dado cualquier $\gamma$, hay menos de $\kappa$ valores de $\alpha$ tal que $\gamma\in a_\alpha$: otra Cosa, hay $\kappa$ de los miembros de $\mathcal A$ cuyo mínimo es en la mayoría de las $\gamma$, y por la regularidad que se puede arreglar $\kappa$ con el mismo mínimo. Pero entonces podemos empezar con $\alpha_0=0$, encontramos a $\alpha_1$ tal que $a_0\cap a_\beta=\emptyset$$\beta\ge\alpha_1$, luego de encontrar a $\alpha_2>\alpha_1$ tal que $a_{\alpha_1}\cap a_\beta=\emptyset$$\beta\ge\alpha_2$, etc. Los conjuntos de $\{a_{\alpha_i}\mid i<\kappa\}$ son pares distintos.