Los números reales positivos $x,y,z$ son las longitudes de los lados de un triángulo iff $$x^2 + y^2 + z^2 < 2\sqrt{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$ (x^2+y^2+z^2)^2\lt4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\\ \Updownarrow\\ x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2\lt0\\ \Updownarrow\\ (x-y)^2(x+y)^2+z^4-2z^2\left(x^2+y^2\right)\lt0\\ \Updownarrow\\ \left(z^2-(x-y)^2\right)\left(z^2-(x+y)^2\right)\lt0\\ \Updownarrow\\ (z-x+y)(z+x-y)(x+y-z)(z+x+y)\gt0 $$ Que es verdadero si y sólo si el Triángulo de la Desigualdad es verdadera para todos los lados.
Si la cantidad no es positivo, al menos uno de los lados de la falla.
El perímetro factor, $x+y+z$, debe ser positivo.
Si dos de los "triángulo" factores no es positiva, entonces uno de los lados no es positivo; por ejemplo, si $(z-x+y)\le0$$(z+x-y)\le0$,$2z=(z-x+y)+(z+x-y)\le0$. Por lo tanto, sólo uno de los triángulo factores pueden ser negativos.
Así que si la cantidad es positiva, todos los factores deben ser positivos.
La Fórmula de la garza dice que el área de un triángulo es $$ \frac14\sqrt{(z-x+y)(z+x-y)(x+y-z)(z+x+y)} $$ que es $$ \frac14\sqrt{4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-(x^2+y^2+z^2)^2} $$
