¿Hay algún campo que contenga $\mathbb{R}$ para el que todo subconjunto no vacío tiene un mínimo y un supremo en ese campo?
Estoy tratando de entender si $\overline{\mathbb{R}}$ (que no es un campo) es el mejor posible.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como mencionas "supremum" e "infimum" asumo que te refieres a campos ordenados. Supongamos que existe un campo ordenado de este tipo. Sea $\omega$ sea el supremum de $\{ 0, 1, 2, \ldots \}$ . Desde $0 < 1$ Debemos tener $\omega < \omega + 1$ . Por inducción transfinita, encontramos que este campo debe contener una subclase bien ordenada e isomorfa a la clase de los números ordinales; pero ningún conjunto puede contener todos los números ordinales. Por lo tanto, tenemos una clase propia, lo que, por razones técnicas, significa que no existe tal campo.
Edita : Sin embargo, si permitimos campos de tamaño de clase, existe un campo en el que cada subconjunto tiene un límite superior (aunque no necesariamente un supremum), a saber, el de Conway números surrealistas . De hecho, podemos definir $\omega$ para ser el número surrealista del primer cumpleaños tal que $n < \omega$ para cada finito $n$ . Pero como observa GEdgar en los comentarios, $\omega - 1, \omega - 2, \ldots$ serán también límites superiores para $\{ 0, 1, 2, \ldots \}$ por lo que este conjunto, aunque acotado por encima, no tiene un supremum.
Además, como observa Carl Mummert en los comentarios, también podríamos considerar $u$ el sumo de todos los elementos del campo. Dado que $0 < 1$ Tendríamos $u < u + 1$ lo que contradice la maximalidad de $u$ .
Michael Hardy
Puntos
128804
Si es un campo ordenado con $\mathbb{R}$ como un subcampo propio, entonces no es difícil demostrar que tiene infinitesimales no nulos, es decir, números $\varepsilon > 0$ tal que $$ \underbrace{\varepsilon + \cdots +\varepsilon}_{n\text{ terms}} < 1 $$ sin importar el tamaño de un número cardinal finito $n$ es. Entonces, ¿cuál es el mínimo límite superior del conjunto de todos los infinitesimales? Llámalo $c$ . Es $c$ ¿es un infinitesimal? Si es así, entonces también lo es $2c$ (es un ejercicio fácil que lleva uno o dos segundos), pero eso contradice el hecho de que $c$ es un límite superior. Pero si $c$ es no un infinitesimal, entonces tampoco es $c/2$ ni nada entre $c$ y $c/2$ (otro ejercicio fácil), y eso contradice la "menor" cota superior.
Por lo tanto, todo campo ordenado con $\mathbb{R}$ como un subcampo propio no tiene la propiedad de límite superior mínimo.
Edición posterior: ¿Cómo se demuestra lo que he dicho en el primer párrafo que no es difícil de demostrar? Supongamos que $a$ es un miembro de este campo mayor. Entonces $|a|$ supera a todos los reales positivos, o es menor que todos los reales positivos, o algunos reales positivos son menores que $|a|$ y algunos mayores. En el primer caso, dejemos $\varepsilon = 1/|a|$ ; en el segundo deja $\varepsilon = |a|$ . En el tercer caso el conjunto de reales $\le |a|$ tiene un límite superior mínimo (dentro del campo real) $b$ . Entonces dejemos que $\varepsilon=|b-|a||$ .
