Sólo me preguntaba... Vamos $E$, $G$ ser espacios de Banach, vamos a $U\subset E$ ser un subconjunto de a $E$, y deje $f:U\rightarrow G$ ser un continuo de la función lineal. Puede $f$ ser extendido a un continuo lineal de la función de $E$, $F:E\rightarrow G$? Para qué casos ocurre esto?
Respuestas
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Grzenio
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No.
Un clásico y probablemente el más fácil de contraejemplo es $U = G = c_0$, el espacio de secuencias convergentes a cero y $E = \ell^{\infty}$, todas equipadas con el supremum de la norma y $f: c_0 \to c_0$ el mapa de identidad. No es lineal continua mapa de $F: \ell^{\infty} \to c_0$ extender $f$ por un resultado generalmente se llama Phillips del lema más sucintamente: "$c_0$ no se complementan en $\ell^\infty$".
La prueba no es del todo trivial, pero no demasiado duro. Una buena exposición se puede encontrar en Robert Whitley, Proyectando $m$ a $c_0$, La American Mathematical Monthly Vol. 73 (3) (Mar., 1966), pp 285-286.
Dos condiciones suficientes:
- $U$ es directa sumand de $E$ (trivial).
-
$G$ es un espacio de la forma $C(K)$ $K$ compacto de Hausdorff y extremally desconectado. Esto incluye a $\ell^{\infty}(S)$ para un conjunto arbitrario $S$ (ejercicio fácil de usar de Hahn-Banach), y $L^{\infty}(\Omega,\mu)$ (menos fáciles de ver, por ejemplo, Benyamini-Lindenstrauss, p. 32).
Uno puede mostrar además si $F$ siempre se puede encontrar con $\|F\| = \|f\|$ para todos los pares de $U \subset E$ y todos los $f: U \to G$ $G$ es isométricamente isomorfo a $C(K)$ anterior (Akilov-Goodner-Nachbin-Kelley, '50ies). Véanse los Capítulos V y VI de la Jornada de la Normativa Espacios Lineales, 3ª edición, Springer, de 1973, para más información sobre este y una prueba de la primera frase de esta viñeta.
Los espacios tienen la extensión de la propiedad como $G = C(K)$ arriba se llama inyectiva, espacios con el de Hahn-Banch de la propiedad o en los espacios con la $P_1$-propiedad en la literatura.
Permítanme mencionar mi respuesta aquí donde me ampliar inyectividad (la extensión de la propiedad de $C(K)$-espacios) y la planitud de los espacios de Banach.
Aquí es una respuesta parcial.
Desea $E$ a un subespacio. Un espacio de Banach $X$ se llama inyectiva si para todo espacio de Banach $Y$ y cada subespacio $Z$ $Y$ y cada operador $T:Z\rightarrow X$, hay una extensión de $\overline T: Y\rightarrow X$.
Es un Teorema de R. S. Phillips que $\ell_\infty$ es inyectiva. $L_\infty$ de las acciones de la misma propiedad. Estos hechos se demuestran en el Diestal las Secuencias y Series en espacios de Banach. Inyectividad propiedades se han ido a más en detalle en Wojtaszczyk de los Espacios de Banach para los Analistas. Por supuesto, una búsqueda en google de "inyectiva espacio de Banach" resulta fructífera.
tooshel
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(Asumiendo $U$ es un subespacio.)
$f$ tiene una única extensión continua para el cierre de $U$, $\overline{U}$. A continuación, una extensión existe si $\overline{U}$ es inyectiva o $G$ es inyectiva. Por ejemplo, ver la Proposición 2.f.2 en la página 105 de la Clásica de los espacios de Banach por Lindenstrauss y Tzafriri.
Esto caracteriza injectiveness, en el sentido de que si $\overline{U}$ no es inyectiva, entonces existe $E$, $G$, y $f$ de manera tal que la extensión no existe, y si $G$ no es inyectiva, entonces existe $E$, $\overline{U}$ y $f$ de manera tal que la extensión no existe. (Yo sólo estoy señalando lo que el citado teorema de la muestra.)
