La solución de la ecuación del calor con las Transformaciones de Fourier

Question

Alguien me puede ayudar con este IVP ecuación del calor problema? Tengo

$$u_t-u_{xx}=g(x,t)$$

donde $x \in \mathbb{R}$, $t>0$, $u(x,0)=0$

Por lo que me he encontrado por tomar una transformación de Fourier que

$$\hat{u_t}(w,t)=-w^2\hat{u}(w,t)+\hat{g}(w,t)$$

Entiendo que esta es una técnica estándar. La solución homogénea de este PDE es entonces

$$\hat{u}=A(w)e^{-w^2t}$$

Alguien me puede ayudar a resolver la no-forma homogénea para que pueda mostrar debe ser el resultado de la convolución y por lo tanto, encontrar una ecuación integral para $u$ por inversión.

Si no me explique lo suficiente de la parte d en la página 81 de este conjunto de notas se explica el caso homogéneo http://www.maths.ox.ac.uk/system/files/coursematerial/2011/979/36/DEnotes-fin.pdf

EDIT: Lo he encontrado

$$\hat{u}=e^{-w^2t} \Big[ \int_0^t e^{w^2s}\hat{g}(w,s) ds +A(w)\Big]$$

Y como $u(x,0)=0 \Rightarrow \hat{u}(w,0)=0$ $A(w)=0$ y

$$\hat{u}=e^{-w^2t}\int_0^t e^{w^2s}\hat{g}(w,s) ds$$

Answer 1

Su procedimiento no puede encontrar todas las soluciones que satisfacen $u(x,0)=0$ .

Debido a que el PDE es homogénea en general, y con una única condición $u(x,0)=0$ , Así que es mejor tomar la transformada de Laplace en $t$ :

$\mathcal{L}_{t\to s^2}\{u_t\}-\mathcal{L}_{t\to s^2}\{u_{xx}\}=\mathcal{L}_{t\to s^2}\{g(x,t)\}$

$s^2U(x,s)-u(x,0)-U_{xx}(x,s)=G(x,s)$

$U_{xx}(x,s)-s^2U(x,s)=-G(x,s)$

$U(x,s)=C_1(s)e^{xs}+C_2(s)e^{-xs}-\dfrac{e^{xs}}{2s}\int_0^xG(x,s)e^{-xs}~dx+\dfrac{e^{-xs}}{2s}\int_0^xG(x,s)e^{xs}~dx$

$u(x,t)=\mathcal{L}^{-1}_{s^2\to t}\{C_1(s)e^{xs}\}+\mathcal{L}^{-1}_{s^2\to t}\{C_2(s)e^{-xs}\}-\mathcal{L}^{-1}_{s^2\to t}\left\{\dfrac{e^{xs}}{2s}\int_0^xG(x,s)e^{-xs}~dx\right\}+\mathcal{L}^{-1}_{s^2\to t}\left\{\dfrac{e^{-xs}}{2s}\int_0^xG(x,s)e^{xs}~dx\right\}$