La línea de asunto lo dice todo, pero quizás sería más razonable para dividir la pregunta en dos partes: 1) ¿puede un pullback diagrama de ser también un pushout diagrama?; si es así, 2) las condiciones necesarias y suficientes estar dado para que esto suceda?
Gracias!
$\require{amsCD}$ Sí. La mayoría de entorno familiar en el que esto sucede es en abelian categorías, donde la propiedad conmutativa de la plaza
$$\begin{CD} A @>f_b>> B\\ @VVf_cV @VVg_bV\\ C @>g_c>> D \end{CD}$$
es un retroceso de la plaza iff la secuencia correspondiente a
$$0 \to A \xrightarrow{f_b \oplus f_c} B \oplus C \xrightarrow{g_c - g_b} D$$
es exacto. Del mismo modo, la plaza es un pushout plaza iff la secuencia
$$A \xrightarrow{f_b \oplus f_c} B \oplus C \xrightarrow{g_c - g_b} D \to 0$$
es exacto. Por lo tanto el cuadrado es un retroceso y un pushout plaza iff la secuencia
$$0 \to A \xrightarrow{f_b \oplus f_c} B \oplus C \xrightarrow{g_c - g_b} D \to 0$$
es exacto.
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