Estoy tratando de averiguar cómo tomar un derivado que se parece a $\displaystyle \frac{d}{d(\ln(a))}$, de una función de $F(a)$ donde $a = a(t)$. En el papel que me estoy leyendo (donde aparece), dan el siguiente resultado en el caso de que $F(a) = \frac{\dot{a}}{a}$ (donde el "punto" es un derivado con respecto a $t$):
$$\frac{d(1/F^2)}{d\ln(a)} = \frac{-2\dot{F}}{F^4},$$
pero no puedo ver cómo se está recibiendo este. Cualquier visión sería muy apreciada.
Que es simplemente la regla de la cadena. Deje $y(t)=\ln(a(t))$, por lo que el $dy/dt = \dot a/a=F$. A continuación, $$\frac{d(F^{-2})}{dt}=\frac{d(F^{-2})}{dy}\frac{dy}{dt},$$
por lo tanto
$$-2\dot F F^{-3} = \frac{d(F^{-2})}{dy} \frac{\dot a}{a} = \frac{d(F^{-2})}{dy} F,$$
a partir de que $$\frac{d(F^{-2})}{dy} = -2\dot F F^{-4}.$$
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