¿Cómo puedo demostrar que $\int_0^\infty \sin(ax) \sin(bx) / x^2 = \pi \min(a,b)/2$

Question

Recientemente he encontrado una reclamación diciendo que $$\int_0^\infty \left( \frac{\sen ax}{x}\right)\left( \frac{\sen bx}{x}\right) \mathrm{d}x= \pi \min(a,b)/2$$ por lo que puedo ver, esto parece ser verdad. Ya sé que $\int_{0}^\infty \operatorname{sinc}xy\,\mathrm{d}y = \pi/2$, y de manera independiente de $y$. Mi sospecha es que esto está estrechamente relacionado con la integral anterior.

Alguien puede darme algunas sugerencias para la evaluación de la integral anterior? También hay cualquier generalización de la integral? Por ejemplo $$\int_{0}^{\infty} \left( \prod_{k=1}^N \frac{\sin (a_k \cdot x)}{x} \right) \,\mathrm{d}x$$ Donde $a_k, \cdots, a_N$ son arbitrarias constantes positivas. Parece relacionados con la Borwein Integral, pero hay algunas diferencias sutiles.

Answer 1

Una forma es a este tipo de residuos. Otra manera de integrar de una vez por partes para obtener $$I=\int_0^{\infty}\frac{b\sin ax\cos bx+a\cos ax \sin bx}{x}dx,$$ a continuación, utilizar la fórmula $2\sin \alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$ y el mencionado integral (tenga en cuenta que la fórmula debe ser corregido a la izquierda y a la derecha) $$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{\sin xy}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}\mathrm{sgn}(y).$$ Esto le da $$\begin{align}I&=\frac{\pi}{4}\Bigl[b\,\mathrm{sign}(a+b)+b\,\mathrm{sign}(a-b)+a\,\mathrm{sign}(a+b)+a\,\mathrm{sign}(b-a)\Bigr]=\\ &=\frac{\pi}{4}\left(|a+b|-|a-b|\right), \end{align}$$ Para $a,b>0$ la última expresión es obviamente igual a $\pi\min\{a,b\}/2$.

Answer 2

Una forma muy sencilla de ver esto es utilizar el teorema de Parseval para las transformadas de Fourier. En general, el teorema de Parseval se establece que, para dos funciones $f$$g$, cada uno tiene sus respectivos FTs $\hat{f}$$\hat{g}$, en relación por

$$\hat{f}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) \, e^{i k x}$$

etc., entonces

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) \bar{g}(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, \hat{f}(k) \bar{\hat{g}}(k)$$

Los PIES de $\sin{(a x)}/x$ está dado por

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, \frac{\sin{a x}}{x} e^{i k x} = \begin{cases} \pi & |k| \lt a \\ 0 & |k| \gt a\end{cases}$$

Del mismo modo,

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, \frac{\sin{b x}}{x} e^{i k x} = \begin{cases} \pi & |k| \lt b \\ 0 & |k| \gt b\end{cases}$$

Por Parseval, tomamos la integral del producto de las transformaciones, que es el producto de dos rectángulos. El producto es claramente distinto de cero sobre el más pequeño de los dos anchos, es decir,$2 \min\{a,b\}$. Por lo tanto,

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, \frac{\sin{a x}}{x} \, \frac{\sin{b x}}{x} = \frac{\pi^2}{2 \pi} 2 \min\{a,b\}$$

Por lo tanto

$$\int_{0}^{\infty} dx \, \frac{\sin{a x}}{x} \, \frac{\sin{b x}}{x} = \frac{\pi}{2} \min\{a,b\}$$