La torsión se utiliza para referirse a los elementos de orden finito en algunas operación binaria. No parece tener relación alguna con los ordinarios de uso cotidiano de la palabra o con su uso en geometría diferencial (que se relaciona con el uso ordinario de la palabra). Entonces, ¿cómo se adquiere este uso en el álgebra?
Estoy interesado en comprender la intuición detrás de por qué la palabra "torsión" fue elegido para este concepto, así como cuando fue utilizado por primera vez.
John Stillwell escribió que "la palabra 'torsión'entered la teoría de la abelian grupos como resultado de la derivación de la uno-dimensional de torsión coeficientes por abelianization de el grupo fundamental de Tietze 1908" [Clásico de la Topología y de Combinatoria, Teoría de grupos, 1993, S. 5.1.1, p. 170]. A continuación es un extracto proporciona más contexto.
La adecuada nociones de "suma" y "límite", y la correcta la elección de k-dimensional colectores admisible como base los elementos, se encontraron sólo después de mucho ensayo y error. "Apropiadas" en un principio significaba la satisfacción de la relación Bk=Bm−k ya que esta era la relación de Poincaré trató de demostrar en su 1895 papel. Heegaard 1898 mostró que en este trabajo en error mediante la construcción de un contraejemplo. Poincaré, a continuación, cambiar la definición de y demostró el teorema de nuevo en Poincaré 1899, la invención de la herramienta de simplicial de descomposición para el propósito. También hizo un análisis exhaustivo de su error, descubrir el importante concepto de la torsión de Poincaré en 1900, y exponer la ruptura de su anterior prueba como el incumplimiento de torsión.
La torsión se presenta cuando un elemento no forma un límite tomado una vez, pero no cuando se toman más de una vez. Un ejemplo es la curva de un en el plano proyectivo P $$ que genera π1(P). Entonces a2 es el límite de un disco que, aunque en sí no P. Poincaré justificado el término "torsión" al demostrar que (m−1)-dimensional de torsión está presente sólo en un m-colector que es nonorientable, y por lo tanto retorcida sobre sí misma, en algún sentido.
En su primera topología de papel, de Poincaré 1892 mostró que los números de Betti por sí solas no determinan un colector hasta homeomorphism. Por 1900 se fue con la esperanza de que la torsión números de suministro de la información que falta, y su papel de ese año contiene una descomposición de la homología en- la formación en cada una de las dimensiones de k en el número de Betti Bk y un conjunto finito de los números de llamada k-dimensional de torsión de los coeficientes. Desde Noether 1926 se ha sido habitual para codificar esta información en un grupo abelian Hk llama la k-dimensional de homología grupo, y de Poincaré de la construcción en el hecho de ser visto como la descomposición de un finitely generado grupo abelian en cíclico factores (ver la estructura teorema 5.2). La palabra "torsión" que aparece inexplicablemente en la mayoría de los textos de álgebra, entró en la teoría de la abelian grupos como resultado de la derivación de la uno-dimensional de torsión coeficientes por abelianization de el grupo fundamental de Tietze 1908 (ver 5.1.3. y 5.3).
Hay una entrada aquí en el "más antiguos que se conocen los usos" del sitio que es útil a veces. Citando directamente de ella, para que los lectores:
De TORSIÓN como se utiliza en la teoría de grupo: un elemento de un grupo G es un elemento de torsión si genera un determinado subgrupo de G. Un grupo abelian que consiste enteramente de torsión de elementos se denomina torsión grupo. En cualquier grupo abelian, la torsión de elementos forman un subgrupo, que se llama con frecuencia la torsión subgrupo de G. Un grupo abelian es torsiones si el elemento neutro es su único elemento de torsión.
Esta terminología parece haber surgido en torno a 1930. Su origen radica en la algebraicas (o combinatoria) topología. Poincaré (Segunda complément à lAnalysis Situs, Proc. Londres Matemáticas. Soc, vol. 32 (1900), 277-308) define a la torsión de los coeficientes para los colectores (variedades), y se ha destacado colectores con y sin torsión. Más tarde en una terminología, su torsión coeficientes son constantes de estructura de grupos de homología. En 1935, el libro de texto Topologie yo por Alexandroff de Hopf-tiene el siguiente concepto de torsión: "Los elementos finitos orden de la r-ésima Betti grupo de E forma un subgrupo llamado el r-ésimo de torsión grupo de E." Aquí, el uso de la palabra de torsión grupo todavía está ligado a un contexto topológico aunque el concepto de un subgrupo de torsión parece ser insinuado. En el grupo teórico capítulo de este libro, la palabra de torsión no se utiliza. Pero en el mismo año de 1935, el papel Contables de torsión grupos de Leon, Zippin (Anales de las Matemáticas. 36, 86-99) contiene la siguiente definición: "Una torsión del grupo T es un discreto contables abelian grupo, cada elemento de la cual es de orden finito" - la moderna definición, excepto por la restricción contables grupos. Dos años antes, Ulm (Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen, Matemáticas. Annalen 107, pp 774-803) todavía no utilizar estos términos, la escritura, en cambio, "los grupos cuyos elementos finitos exponentes." La torsión de la terminología era la lentitud en la obtención de general aceptación; se utiliza con frecuencia en los trabajos de investigación en la década de 1940, y se aplica de forma homogénea en Kaplansky Infinito de Abelian Grupos de 1954, mientras que por otro lado, Marshall Hall del libro de texto sobre teoría de grupos, publicada en 1959, se introduce el término "periódico", explicando que "el plazo de torsión de grupo se utiliza en ciertas aplicaciones." El influyente libro sobre topológicos, grupos, Abstracto, Análisis Armónico yo por Hewitt y Ross (1963) los usos de la torsión, la terminología y puede haber sido importante en la promoción.
[Esta entrada fue aportado por Peter Flor.]
Fin de la cita. Es un sitio interesante!
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