¿Cuál es la distribución del error de alrededor de crecimiento logístico de datos?

Question

En ecología, a menudo utilizamos la logística de crecimiento de la ecuación:

$$ N_t = \frac{ K N_0 e^{rt} }{K + N_0 e^{rt-1}} $$

or

$$ N_t = \frac{ K N_0}{N_0 + (K -N_0)e^{-rt}} $$

where $K$ is the carrying capacity (maximum density reached), $N_0$ is the initial density, $r$ is the growth rate, $t$ is time since initial.

The value of $N_t$ has a soft upper bound $(K)$ and a lower bound $(N_0)$, with a strong lower bound at $0$.

Furthermore, in my specific context, measurements of $N_t$ are done using optical density or fluorescence, both of which have a theoretical maxima, and thus a strong upper bound.

The error around $N_t$ is thus probably best described by a bounded distribution.

At small values of $N_t$, la distribución, probablemente, tiene un fuerte sesgo positivo, mientras que en los valores de $N_t$ aproxima a K, la distribución probablemente tiene una fuerte asimetría negativa. La distribución por lo tanto, probablemente tiene una forma de parámetros que pueden ser vinculados a $N_t$.

La varianza también puede aumentar con el $N_t$.

Aquí está un gráfico de ejemplo

con

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

la cual puede ser producida en r con

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• ¿Cuál sería el error teórico de distribución de alrededor de $N_t$ (en la consideración de que el modelo y la información empírica proporcionada)?

• Cómo doe los parámetros de esta distribución se relacionan con el valor de $N_t$ o de tiempo (si el uso de los parámetros en el modo no pueden ser directamente asociados con$N_t$, por ejemplo. logis normal)?

• ¿Esta distribución tiene una función de densidad implementado en $R$?

Las direcciones explorado hasta el momento:

• Suponiendo normalidad en torno a $N_t$ (que lleva a las estimaciones de $K$)
• Logit distribución normal alrededor de $N_t/max$, pero la dificultad en el ajuste de parámetros de forma alfa y beta
• Distribución Normal alrededor de la lógica de la $N_t/max$

Answer 1

@whuber es correcto que no hay ninguna relación necesaria de la parte estructural de este modelo para la distribución de los términos de error. Así que no hay respuesta a tu pregunta para el teórico de distribución de error.

Esto no quiere decir que no es una buena pregunta, aunque - sólo que la respuesta tendrá que ser en gran parte empírico.

Usted parece estar asumiendo que la aleatoriedad es aditivo. No veo razón (aparte de conveniencia computacional) para que este sea el caso. Es una alternativa que hay es un elemento aleatorio en alguna otra parte en el modelo? Por ejemplo, ver el siguiente, donde el azar se presenta como una distribución normal con una media de 1, la varianza de la única cosa a la estimación. No tengo ninguna razón para pensar que esto es la cosa correcta a hacer otro que el que produce plausibles resultados que parecen coincidir con lo que usted desea ver. Si sería práctico para usar algo como esto como la base para la estimación de un modelo no lo sé.

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))

Answer 2

Como Michael Chernick señalado, la ampliación de la distribución beta tiene el mejor sentido de esta. Sin embargo, para todos los propósitos prácticos, y esperando que NUNCA obtener el modelo de la perfección de la derecha, sería mejor simplemente modelado de la media a través de la regresión no lineal de acuerdo a su crecimiento logístico ecuación y envolver con errores estándar que son robustos a heterocedasticidad. Poner esto en la máxima verosimilitud contexto se crea una falsa sensación de gran precisión. Si la teoría ecológica se iba a producir una distribución, usted debe de ajuste de la distribución. Si su teoría sólo produce la predicción de la media, usted debe pegarse a esta interpretación y no trate nada más que eso, como un completo soplado de distribución. (Pearson sistema de curvas fue sin duda la fantasía de hace 100 años, pero los procesos aleatorios de no seguir las ecuaciones diferenciales para producir la curva de densidad, la cual fue su motivación con estas curvas de densidad de -- más bien, uno podría pensar en términos del teorema del límite central como una manera de que las cosas pueden estar trabajando para producir distribuciones de aproximación de lo que vemos en la práctica.) Yo esperaría que la variabilidad aumenta con la $N_t$ sí -- me refiero a la distribución de Poisson como ejemplo, y no estoy completamente seguro de que este efecto será capturado por la ampliación de la distribución beta; sería, por el contrario, se comprimen como usted tira de la media hacia su teórica límite superior, que puede que tenga que hacer. Si su medición dispositivo tiene un límite superior de las mediciones, esto no significa que su actual proceso debe tener un límite superior; más bien diría que el error de medición introducida por los dispositivos se convierte en crítica como el proceso llega a ese límite superior de ser medidos con una precisión razonable. Si usted confundir la medición con el proceso subyacente, se debe reconocer que, de forma explícita, pero me imagino que tienen un mayor interés en el proceso que en la descripción de cómo funciona el dispositivo. (El proceso será de 10 años a partir de ahora, los nuevos dispositivos de medición pueden estar disponibles, por lo que su trabajo se convierta en obsoleto.)