Para la primera pregunta: Una aplicación de la $\lambda$ -lemma.
Teorema: Sea $c_0$ y $c_1$ estar en el mismo componente $U$ de $C \backslash \partial M$ , ( $M$ es el conjunto de Mandelbrot) entonces $J_{c_0}$ y $J_{c_1}$ (los conjuntos Julia) son homeomorfos (e incluso cuasiconformes-homeomorfismo) y la dinámica de los dos polinomios $z^2+c_0$ y $z^2+c_1$ se conjugan en los conjuntos Julia.
Prueba: En primer lugar hay que tener en cuenta que $M$ y $\mathbb C \backslash M$ están conectados (teorema de Douady-Hubbard). Así que $U$ es conformemente equivalente a $\mathbb D$ (porque simplemente está conectado).
Dejemos que $Q_k \subset U \times \mathbb C$ sea un conjunto definido por la ecuación $P_c^k(z)=z$ donde $P_c(z) = z^2+c$ y denotar por $p_k : Q_k \longrightarrow U$ la proyección sobre el primer factor. $Q_k$ está cerrado y $p_k$ es la restricción a $Q_k$ de la proyección sobre el primer factor, por lo que $p_k$ es un mapa adecuado. Además, las dos funciones $(c,z)\mapsto P_c^k(z)-z$ y $(c,z)\mapsto (P_c^k(z))'-1$ desaparecen simultáneamente en un conjunto discreto $Z \subset U \times \mathbb C$ y el mapa
$p_k : Q_k \backslash p_k^{-1}(p_k(Z)) \longrightarrow U \backslash p_k(Z)$
es un mapa convergente de hoja finita: es propio y un homeomorfismo local.
Dejemos que $c^\star$ sea un punto de $p_k(Z)$ y $U' \subset U$ una vecindad simplemente conectada de $c^\star$ que no contiene ningún punto de $p_k(Z)$ . Denota por: $Q'_k = p_k^{-1}(U')$ y $Q_k^\star = Q'_k \backslash p_k^{-1}(c^\star)$ . Denote por $Y_i$ el componente conectado de $Q^\star_k$ cada uno de ellos es una cubierta finita de $U^\star = U' \backslash \{c^\star\}$ . El cierre de cada $Y_i$ sur $Q'_k$ es $Y_i \cup \{y_i\}$ para algunos $y_i \in \mathbb C$ . Si $(P^k_{c^\star})'(y_i)\neq 1$ por el teorema de la función implícita $Q'_k$ está cerca $y_i$ la gráfica de una función analítica $\phi_i : U' \longrightarrow \mathbb C$ .
Ahora dejemos que $Y_i$ sea un componente tal que $(P^k_{c^\star})'(y_i)=1$ . Si $(c,z)\mapsto (P_c^k)'(z)$ no es constante en $Y_i$ su imagen contiene una vecindad de $1$ en particular los puntos del círculo unitario, y los correspondientes puntos de $Y_i$ son ciclos indiferentes que no son persistentes. Esto no puede ocurrir y $(c,z)\mapsto (P_c^k)'(z)$ es constante en cada uno de esos componentes $Y_i$ .
De lo anterior se deduce que si $R_k \subset Q_k$ es el subconjunto de ciclos repelentes, entonces la proyección $p_k : R_k \longrightarrow U$ es un mapa de cobertura. De hecho, es un homeomorfismo local por el teorema de la función implícita, y propio ya que una secuencia $(c_n,z_n)$ sur $R_k$ que convergen en $Q_k$ no puede converger a un punto $(c^\star,z^\star)$ donde $P^k_{c^\star}(z^\star) = 1$ . Por lo tanto, el conjunto de todos los ciclos de repulsión de $P_c$ es un movimiento holomórfico. Por la $\lambda$ -este mapa se extiende al cierre del conjunto de puntos de repulsión, es decir, al conjunto de Julia $J_c$ que también forma un movimiento holomórfico. $\square$
Véase también: Teorema de Mane-Sad-Sullivan.
No entiendo muy bien su segunda pregunta.
