Los primos de Fermat y la ecuación $x^2+y^2 = 10^n x+y$

Question

Esto está relacionado con el pregunta de Naroza que era a respuesta de E. Wong . En pocas palabras, trata de encontrar más ejemplos de las curiosidades,

$$12^2+33^2 = 1233$$

$$88^2+33^2 = 8833$$

o, en general, resolver,

$$x^2+y^2 = 10^n x+y$$

para entero $x,y$ (naturalmente, con restricciones de tamaño en $x,y$ ). Wong dio,

$$a=4,\;\;b=10^{4m},\;\;x = \tfrac{a}{17}(ab-1),\;\;y = \tfrac{a}{17}(a+b)\tag{1}$$

donde $m=4k+3$ . Por ejemplo, para $k=0$ , obtenemos,

$$ \color{red}{941176470588}^2 + \color{blue}{235294117648}^2 = \color{red}{941176470588}\color{blue}{235294117648}$$

y su socio como,

$$ {\color{red}{588}\color{blue}{2352}\color{red}{9412}}^2 + \color{blue}{235294117648}^2 = \color{red}{588}\color{blue}{2352}\color{red}{9412}\color{blue}{235294117648}$$

Tenga en cuenta que,

$$ \color{red}{588}^2 + \color{blue}{2352}^2 = \color{red}{588}\color{blue}{2352}$$

$$ \color{red}{9412}^2 + \color{blue}{2352}^2 = \color{red}{9412}\color{blue}{2352}$$

De todos modos, me di cuenta de la Fermat primo 17 y, después de un poco de experimentación, encontró,

$$a=16,\;\;b=10^{64m},\;\;x = \tfrac{a}{257}(ab-1),\;\;y = \tfrac{a}{257}(a+b)\tag{2}$$

$$a=256,\;\;b=10^{16384m},\;\;x = \tfrac{a}{65537}(ab-1),\;\;y = \tfrac{a}{65537}(a+b)\tag{3}$$

Pregunta : ¿Son los $x,y$ de (2), (3) también enteros para todos entero positivo $m=4k+3$ ?

(Lo he probado durante los primeros $k$ y es verdad. Otros Números de Fermat no funcionan. Parece que el divisor debe ser primo > 5.)

Answer 1

Mirando sólo la primera,

$\frac{a}{257}(ab-1)$ es un número entero, si y sólo si

$(a^2+1)|(a^2b-a)=a(ab-1)$ si y sólo si

$(a^2+1)|ab-1$ (ya que $a,a^2+1$ son relativamente primos), si y sólo si

$ab\equiv 1\pmod{a^2+1}$

Por Pequeño teorema de Fermat ya que $a^2+1$ es primo en este caso, $10^{a^2}=10^{256}\equiv 1\pmod{257}$ .

Por lo tanto, $ab(10^{256})\equiv 1\pmod{a^2+1}$ . Establecer $c=b10^{256}=10^{64(4k+3)}10^{256}=10^{64(4(k+1)+3)}$ . Esto puede repetirse para obtener $10^{64(4(k+2)+3)}$ etc, por lo que cualquier $m=4k+3$ .