Condiciones para la Independencia Lineal de funciones definidas por la integración

Question

Dado que el conjunto de los estrictamente positivo y funciones continuas $$f_i(x,y) >0, \quad i=1,\dots,n$$ are defined on $[0,1]^2$ y $\mathbb{R}$-linealmente independientes para $(x,y) \in [0,1]^2$. Que es si $c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ $\sum_{i=1}^n c_i f_i(x,y)=0$ todos los $(x,y) \in [0,1]^2$, a continuación, cada una de las $c_i$ es cero. Deje $g_i$ ser definido por $$ g_i(x) = \int_{y\in [0,1] } f_i(x,y) d y, \quad i=1,\dots,n $$ ¿cuáles son otras condiciones son necesarias en $f_i(x,y)$, de modo que el conjunto de funciones de $g_i(x)$ $\mathbb{R}$- linealmente independientes para $(x,y) \in [0,1]$.

Estoy teniendo dificultades en este problema y cualquier sugerencia o referencias a leer, sería muy apreciado. Algunos pensamientos o intentos que he hecho son

• Si $f_i(x,y)= h_i(x) k_i(y)$ en el conjunto de $h_i(x)$ $\mathbb{R}$- linealmente independientes para $x \in [0,1]$ y si el conjunto de $k_i(y)$ $\mathbb{R}$- linealmente independientes para$y \in [0,1]$, en tanto $f_i(x,y)$ $g_i$ $\mathbb{R}$- linealmente independientes?
• Si $f_i(x,y)$ $\mathbb{R}$- linealmente independientes si $x \in [0,1]$ para todos los fijos $y \in [0,1]$. No estoy seguro de cómo la prueba de trabajo en este caso.

Answer 1

$\renewcommand{\p}{\partial}$ SUGERENCIA:
Recordar que cualquier conjunto linealmente independiente de las funciones tiene distinto de cero Wronskian.

\begin{align} \forall c_{1}, c_{2} \ldots, c_n \in \mathbb R \quad c_{1} g_{1}\left(x\right) + c_{2} g_{2}\left(x\right) + \ldots + c_{n} g_{n}\left(x\right) \not\equiv 0 \impliedby W\big( g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n} \big) \not \equiv 0 \end{align}

Recordemos también Leibniz fórmula para la diferenciación en virtud de la integral con la variable de los límites:

$$ \frac{d}{dx}\left( \int_ {\left(x\right)}^{b\left(x\right)} f\big(x,t\big)\, dt \right) = f\big(x,b\left(x\right)\big) \cdot b'\left(x\right) - f\big(x,b\left(x\right)\big) \cdot un'\left(x\right) + \int_ {\left(x\right)}^{b\left(x\right)} \frac{\partial}{\partial x}\,f\left(x,t\right)\, dt $$

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En su caso particular

\begin{align} g_{i} \left(x\right) = \int_{0}^{1} f_{i} \left(x,y\right) \,d y \implies \frac{d\,g_i}{dx} = \int_{0}^{1} \frac{\partial\,}{\partial x}\Big( f_i\left(x,y\right) \Big)\,d y \implies \frac{d^{k}g_i}{dx} = \int_{0}^{1} \frac{\partial^{k}\,}{\partial x^{k}} \Big( f_i\left(x,y\right) \Big)\,d y, \end{align} para $\,k = 1, \,\ldots,\, n-1\,$ bajo el supuesto de que las funciones de $\,f_{i}\,$ ha $\,n-1\,$ derivados.

En fin, un conjunto de funciones de $\,g_{1}, \ldots, g_{n}\,$ exigimos la no-cero Wronskian

\begin{align} W = \begin{vmatrix} g_{1} & g_{2} & \cdots & g_{n} \\ g_{1}^{\left(1\right)} & g_{2}^{\left(1\right)} &\cdots& g_{n}^{\left(1\right)}\\ g_{1}^{\left(2\right)} & g_{2}^{\left(2\right)} &\cdots& g_{n}^{\left(2\right)}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{1}^{\left(n-1\right)} & g_{2}^{\left(n-1\right)} & \cdots & g_{n}^{\left(n-1\right)} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \int_{0}^{1} f_{1} \,dy & \int_{0}^{1} f_{2}\,dy & \cdots & \int_{0}^{1} f_{n}\,dy \\ \int_{0}^{1} \frac{\partial \,f_{1} }{\partial x }\,dy & \int_{0}^{1} \frac{\partial \,f_{2} }{\partial x}\,dy & \cdots & \int_{0}^{1} \frac{\partial \,f_{n} }{\partial x}\,dy \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \int_{0}^{1} \frac{\partial^{n-2}\,f_{1} }{\partial x^{n-2}}\,dy & \int_{0}^{1} \frac{\partial^{n-2}\,f_{2} }{\partial x^{n-2}}\,dy & \cdots & \int_{0}^{1} \frac{\partial^{n-2}\,f_{n} }{\partial x^{n-2}}\,dy \end{vmatrix} \no \equiv 0 \end{align}

Distinto de cero Wronski determinante es distinto de cero significa que los vectores columna de la matriz son linealmente independientes. Espero que usted puede escoger desde aquí.