Intuición para el lema de Krasner

Question

De la teoría algebraica de los números de Milne, tenemos (él asume que $K$ es completa con respecto a un valor absoluto discreto no arquimédico, pero no sé dónde se utiliza la parte discreta)

Dejemos que $\alpha,\beta\in K^{al}$ y suponer que $\alpha$ es separable sobre $K[\beta]$ . Si $\alpha$ está más cerca de $\beta$ que cualquier conjugado de $\alpha$ (sobre $K$ ), entonces $K[\alpha]\subset K[\beta]$ .

Como corolario, tenemos

Dejemos que $f(X)$ sea un polinomio irreducible mónico de $K[X]$ . Entonces cualquier polinomio mónico $g(X)\in K[X]$ lo suficientemente cerca de $f(X)$ también es irreducible, y cada raíz $\beta$ de $g(X)$ pertenece a alguna raíz de $\alpha$ de $f(X)$ . Para tal raíz $K[\alpha]=K[\beta]$ .

Para mí, esto dice que podemos aproximar raíces de polinomios sobre $\mathbb{Q}_{p}$ (o una extensión) con polinomios sobre $\mathbb{Q}$ que parece útil.

Intenté leer la prueba del lema y del corolario, pero todo lo que obtuve fue que jugamos con los límites y que tener la desigualdad del triángulo fuerte y la extensión única de la norma es de alguna manera más poderosa de lo que mi intuición sugiere.

Entiendo que a veces hay que arremangarse, calcular y decir que es verdad porque el cálculo lo dice. Sin embargo, ¿hay alguna razón más intuitiva para explicar por qué el lema de Krasner es cierto? En particular, ¿hay alguna forma de relacionarlo con la imagen de las extensiones de $\mathbb{Q}_{p}$ que se da en la respuesta de Daniel Litt aquí: https://mathoverflow.net/questions/51905/how-to-picture-mathbbc-p ?

Answer 1

Tenga cuidado: su afirmación del lema de Krasner contiene una ambigüedad gramatical. El enunciado debería ser:

Dejemos que $K$ sea un campo local completo con respecto a una valoración no trivial no arquimédica, y sea $K^\mathrm{al}$ sea un cierre algebraico de $K$ . Sea $\alpha, \beta \in K^\mathrm{al}$ , donde $\alpha$ es separable sobre $K(\beta)$ . Si $|\beta - \alpha| < |\sigma\alpha - \alpha|$ mientras recorremos todos los conjugados $\sigma \alpha \neq \alpha$ en $K$ entonces $K(\alpha) \subseteq K(\beta)$ .

(No creo que la discreción de la valoración se utilice en ninguna parte de la prueba).

Imagínese el $\sigma \alpha$ como puntos en $K^\mathrm{al}$ Cada uno de ellos con su propio vecindario. Krasner dice que, para todos $\beta$ en un barrio suficientemente pequeño de $\alpha$ el único conjugado de $\alpha$ sobre el campo base $K(\beta)$ es $\alpha$ por lo que todo automorfismo en $\mathrm{Gal}(K^\mathrm{al}/K)$ que arregla $\beta$ también debe arreglar $\alpha$ .