Hay campos de $F$ que los anillos $F[x]/(x^2)$ $F[x]/(x^2-1)$ son isomorfos?

Question

Mi primer instinto es ir a la 1er teorema de isomorfismo y decir que los dos anillos son isomorfos si existe un campo donde $(x^2)=(x^2-1)$, lo que no parece tan prometedor.

Pero entonces a mí me parece que $F[x]/(x^2)$ es el anillo que usted consigue cuando usted tome $F$ y lindan con un elemento que satisface la relación $x^2=0$, que sería $0$ y cada campo tiene uno. Mismo con $F[x]/(x^2-1)$ $F$ con un elemento de satisfacciones $x^2=1$. $1$ hace el truco y cada campo tiene uno de esos también.

Cualquier sugerencias (o las respuestas!) sería apreciada.

Gracias...

Answer 1

Suponiendo que significan $F[x]/(x^2)$$F[x]/(x^2-1)$, son isomorfos si el campo tiene características de las $2$, pero no lo contrario. Cuando la característica es $2$, $x^2-1=(x-1)^2$, y el homomorphism $F[x]\rightarrow F[x]$ $x\mapsto x-1$ induce un isomorfismo (por paso al cociente) $F[x]/(x^2)\cong F[x]/(x^2-1)$.

Si el carácter no es $2$, $F[x]/(x^2-1)$ es isomorfo a $F\times F$ como un anillo por el teorema del resto Chino, mientras que $F[x]/(x^2)$ no puede ser porque tiene un no-cero nilpotent (la imagen de $x$).

Answer 2

Para agregar a Keenan de la respuesta y espero que la dirección del pensamiento en el OP un poco más explícita:

$F[x]/(x^2)$ es, como usted dice, el anillo que usted consigue cuando usted se acuestan a un campo de un elemento $x$ satisfacción $x^2=0$. Y, como usted dice, $0$ ya satisface esta relación en $F$. Me interpretar el segundo párrafo de la pregunta para pedir, "no quiere esto decir $F[x]/(x^2)$ es sólo $F$ lindan $0$?" Otra forma de hacer esto podría haber sido: "Es $F[x]/(x^2)$ lo mismo que $F$?"

La respuesta es no, debido a que $x\neq 0$$F[x]/(x^2)$. Así, este anillo tiene otro elemento además de cero cuyo cuadrado es igual a cero. Aquí hay dos maneras de ver por qué esto es cierto:

(1) Por la definición de $F[x]/(x^2)$, es el anillo de aditivo cosets de la ideal $(x^2)$. El cero coset es el ideal de la $(x^2)$ sí. Ahora $x$ no está en este ideal; esto significa que la coset $x+(x^2)$ es diferente de cero en este cociente del anillo.

Este "tuercas y tornillos" argumento tiene la ventaja de que se conecta directamente a la definición, pero la desventaja de que no se refiere a la forma de pensar de $F[x]/(x^2)$ que le llevó a preguntarse si $x$ cero. Esperemos que se dirige a

(2) Como se dijo, se puede pensar de $F[x]/(x^2)$ $F$ contiguos a una $x$ tal que $x^2=0$. Pero este anillo no es sólo un anillo que contiene a $F$ y un elemento $x$ cuyo cuadrado es igual a cero. Es el (único) "el más grande"/"más libres" anillo que tiene este. La única relación que se tiene entre el $x$ y otros elementos del anillo son los obligados por $x^2=0$ (tales como $x^5=0$, $x^2+1=1$, etc.). En un anillo (a diferencia de un campo), es posible que un elemento a la plaza a cero sin igualando a cero, por lo que para lograr la "máxima grandeza/la libertad", el elemento $x$ que se adhiere a $F$ $F[x]/(x^2)$ es diferente de cero. $x^2=0$ no fuerza a $x=0$ $F[x]/(x^2)$ no tiene esta última relación.

Este segundo argumento es una declaración informal de el hecho de que el cociente $F[x]/(x^2)$ se caracteriza por una "característica universal": para cualquier anillo de $R$ contiene $F$ y también un elemento (es decir $\alpha$) cuyo cuadrado es igual a cero, $F[x]/(x^2)$ tiene un único homomorphism a que el anillo que es la identidad en $F$ y envía $x$$\alpha$. Porque tiene que ser capaz de hacer esto para cualquier anillo de $R$ con estas propiedades, no puede haber ningún "extra" de las relaciones.