¿Por qué Hartshorne se preocupó de los esquemas en su libro de texto cuando sólo trabajaba sobre un campo algebraicamente cerrado?

Question

En su libro de texto Geometría algebraica escribió en la p. 58:

Ahora que hemos visto un poco en qué consiste la geometría algebraica debemos discutir el grado de generalidad en el que desarrollar los fundamentos del tema. En este capítulo hemos trabajado sobre un campo algebraicamente cerrado, porque es el caso más sencillo. Pero hay buenas razones para permitir campos que no sean algebraicamente cerrados.

Sin embargo, en los capítulos 4 y 5, en los que se tratan las curvas y las superficies, que son la "carne" de la geometría algebraica, sólo trabajó sobre un campo algebraicamente cerrado. De ahí mi pregunta del título.

Answer 1

Los capítulos 2 y 3 comprenden la mayor parte de los cinco capítulos del texto de Harshorne, algo así como $233$ de $423$ y tratan los esquemas con mucha más generalidad que las variedades sobre un campo algebraicamente cerrado. Así que eliminar los esquemas supondría eliminar más de la mitad del texto.

[Como apunte: la primera clase de geometría algebraica que tomé -en mi primer semestre de posgrado- utilizó el texto de Hartshorne pero no discutió la teoría de esquemas. Intentar leer a Hartshorne y restringirse a las variedades en lugar de a los esquemas fue muy confuso: ¡imagínese intentar leer sobre "morfismos separados y propios" cuando sólo sabe de variedades!]

Si te refieres a preguntar por qué asume que el campo de tierra es algebraicamente cerrado en los capítulos 4 y 5 cuando mucho de lo que hace es cierto sin esa hipótesis: bueno, esa es una elección que él hizo, y nadie más que él podría responderla definitivamente. Como geómetra aritmético, ciertamente desearía que hubiera tratado campos de tierra más generales. En gran medida, el reciente texto de Qing Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas existe debido a esta restricción en el texto de Hartshorne. (Más precisamente existe porque Hartshorne no trató aritmética superficies). Aun así, Hartshorne hace más con la cohomología de los esquemas que Liu, por lo que un estudiante de geometría aritmética debería dedicar tiempo a leer ambos textos.

Answer 2

Los argumentos de los capítulos 4 y 5 utilizan la maquinaria teórica de los capítulos 2 y 3.

Véase, por ejemplo, la demostración del criterio de Castelnuovo, que, entre otras cosas, utiliza el teorema de las funciones formales.

Básicamente, incluso cuando el campo de tierra es algebraicamente cerrado, es fácil encontrar esquemas no triviales (por ejemplo, como vecindades engrosadas de subvariedades cerradas), y éstos aparecen en los argumentos y la discusión de los capítulos 4 y 5.

Answer 3

Los esquemas permiten hacer cosas que no se pueden hacer con las variedades incluso sobre campos algebraicamente cerrados. Por ejemplo, el espacio tangente es un esquema muy interesante teóricamente en las cúspides pero no como variedad. En general, son las operaciones como tomar el espacio tangente las que nos llevan a la teoría de esquemas, y no necesariamente campos raros u otros anillos.