Por supuesto, la respuesta "tradicional" es no, no hay números reales que no sean racionales ni irracionales. Sin embargo, siendo el aguafiestas que soy, permítanme proporcionar una interpretación alternativa que da una respuesta diferente.
¿Qué pasa si estás usando lógica intuicionista? - PyRulez
En la lógica intuicionista, donde se rechaza la ley del tercio excluido (LEM) $P\vee\lnot P$, las cosas se vuelven ligeramente más complicadas. Deja que $x\in \Bbb Q$ signifique que hay dos enteros $p,q$ con $x=p/q$. Entonces la interpretación tradicional de "$x$ es irracional" es $\lnot(x\in\Bbb Q)$, pero vamos a llamar a esto "$x$ no es racional". La afirmación "$x$ no no es racional", que es $\lnot\lnot(x\in\Bbb Q)$, es implicada por $x\in\Bbb Q$ pero no es equivalente a ella.
Considera la ecuación $0<|x-p/q|medida de irracionalidad $\mu(x)$. Hay un teorema interesante de teoría de números que dice que la medida de irracionalidad de cualquier número algebraico irracional es $2$, y la medida de irracionalidad de un número trascendental es $\ge2$, mientras que la medida de irracionalidad de cualquier número racional es $1$.
Por lo tanto, hay una brecha medible entre las medidas de irracionalidad de números racionales e irracionales, y esto produce una definición alternativa "constructiva" de irracional: deja que $x\in\Bbb I$, leído como "$x$ es irracional", si $|x-p/q|
Este enfoque también es similar al método de fracción continua: los números irracionales tienen representaciones de fracciones continuas simples infinitas, mientras que los números racionales tienen representaciones finitas, por lo que dado una representación de fracción continua infinita, automáticamente sabes que el límite no puede ser racional.
La mala noticia es que porque la lógica intuicionista o constructiva es estrictamente más débil que la lógica clásica, no prueba nada que la lógica clásica no pueda probar. Dado que la lógica clásica prueba que cada número es racional o irracional, no prueba que haya un número no-racional no-irracional (asumiendo consistencia), por lo que la lógica intuicionista tampoco puede probar la existencia de un número no-racional no-irracional. Simplemente no puede probar que esto es imposible (podría ser cierto, para algún sentido de "podría"). Por otro lado, debería haber un modelo de los reales con lógica constructiva + $\lnot$LEM, tal que haya un número no-racional no-irracional, y animo a cualquier analista constructivo a proporcionar ejemplos en los comentarios.
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Ten en cuenta que no hay números representados en el área azul.
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No es una ilustración muy inteligente, de hecho.
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Nunca confíes en alguien que dice que 0 no es un número natural ;-p
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@SteveJessop nunca confíes en alguien que diga que 0 es un número natural. Demonios, incluso diría nunca confíes en alguien que diga que 0 *tiene que ser un número* - en muchas situaciones (principalmente en ciencias reales - las matemáticas no son una ciencia risas),
0es solo un símbolo.2 votos
Nb Soy consciente de los axiomas de Peano - aún así, la elección de si $0 \in N$ o no es arbitraria - en muchas situaciones es más fácil lidiar con $N_0$, en muchas - con $N_+$... Si necesitas por ejemplo la identidad aditiva - elige $N = N_0; si necesitas por ejemplo poder tener un $a/b \in Q$ o $a^b \in N$ bien definido $\forall a, b \in N$ - elige $N = N_+$...
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No, pero hay muchos números que podemos describir para los cuales no sabemos cómo determinar, hoy en día, si son racionales o no. Por ejemplo, $\pi+e$.
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@MarkAdler Y peor son los números cuya racionalidad no solo es desconocida, sino independiente del sistema lógico de uno. (Aunque nada impide que $\pi+e$ sea tal número)
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¿Eh? Nunca, en un contexto matemático, he escuchado que se utilicen los números "enteros" para denotar $\mathbb{N} \cup \{ 0 \}$. Si me encontrara con esto en un texto matemático, si no está definido, probablemente asumiría que es un sinónimo de 'números enteros'.
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@vaxquis: seguro, es solo una cuestión de cómo definas la suma en tu sistema de Peano, específicamente si el caso base es $x + b = x$ o $x + b = S(x)$, con $b$ siendo el elemento base y $S$ la función sucesor. Si vas a usar la primera definición llamas al elemento base $0$, si es la segunda entonces $1$. Es completamente arbitrario basado en conveniencia. Todo lo que estoy diciendo es que hay algo sospechoso acerca de los tipos del segundo caso. Sus ojos son demasiado pequeños o algo así ;-)
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Una vista más intuitiva, los números naturales son números que se utilizan para contar y ordenar. Bueno, $0\in\mathbb{N}$ porque $0$ es el número de dinosaurios en el planeta. No es una cuestión de convención en absoluto. Si defines $0\not\in\mathbb{N}$, estás quitando algo fundamental de $\mathbb{N}$. Y para mí, $x$ es positivo significa $x\geq 0$ y $x$ es estrictamente positivo significa $x>0$ (¡algunas personas lo llaman "no negativo"!).
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@whatever llamar a $0$ "positivo" es en mi opinión un grave abuso del lenguaje y hará que tus declaraciones sean ambiguas y malinterpretadas en el mejor de los casos; $0$, por definición, no es ni positivo ni negativo. Por definición $x : "positivo" \iff x > 0 ; x : "negativo" \iff x < 0$ - así que, $0$ no es ninguno de los dos. Aun así, si definimos $N$ como el conjunto de todas las posibles cardinalidades de un conjunto finito y contable - $N = N_0$ ; si definimos $N$ como el conjunto de todas las posibles cardinalidades de un conjunto finito, contable y no vacío, $N = N_+$
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@SteveJessop ¡ah, los ojos pícaros... eso es completamente cierto! Ehm, bueno, ahora puedo estar completamente de acuerdo con tu declaración. ^_^
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@vaxquis Positivo significa $\geq 0$ no $>0$. Si $x>0$, decimos que $x$ es estrictamente positivo. El adjetivo "estrictamente" es mucho mejor que "no negativo". $0$ es al mismo tiempo positivo y negativo.
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@vaxquis También $\mathbb{R}_+=[0,+\infty[$ y $\mathbb{R}_+^*=]0,+\infty[$. No sé cómo lo denotas.
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@SteveJessop Claramente no entendiste mi punto. Decir que $x$ es positivo significa que $x$ puede ser $0$ pero decir que $x$ es estrictamente positivo significa que no puede ser $0$ y lo mismo con (negativo, estrictamente negativo). Agregar ese adjetivo "estrictamente" aclara todo. Estoy diciendo que la terminología $(positivo, estrictamente positivo)$ es mejor que $(no negativo, positivo)$.
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@HagenvonEitzen Por supuesto, se puede tener un conjunto de números reales sin poder nombrar explícitamente números particulares dentro de ese conjunto.
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@lo que sea para resumir la discusión eliminada ahora solo puedo decir esto: si consideras que permitir que algo sea positivo y negativo al mismo tiempo es "una solución mucho mejor" que no permitirlo, así como ser partidario de usar terminología que es ajena a la mayoría de los matemáticos reales en todo el mundo porque, en tu opinión,
es una mejor solucióny porque "hay diferentes tipos de inglés [¡sic!]" - y si, al mismo tiempo, dices que la definición de conjuntos particulares en matemáticasno es una cuestión de convención en absoluto- entonces simplemente doy por cerrado el caso y te deseo lo mejor en el futuro.0 votos
@vaxquis ¿Por qué dices creciente/estrictamente creciente pero no dices positivo/estrictamente positivo? ¿Doble estándar?!