Quiero mostrar que hay sólo un número finito de curvas elípticas sobre Espec $\mathbf Z$ sin apelar a Siegel teorema o Shafarevich teorema.
En primer lugar, creo (pero no estoy seguro) que tal una curva elíptica tiene una ecuación de Weierstrass $y^2=x^3+Ax+B$$A$$B$$\mathbf Z$. ¿Es esto cierto? (Creo que hay algunos problemas en los números primos $2$$3$.)
Entonces, por el hecho de que esta es una curva elíptica sobre $\mathbf Z$, tenemos que el discriminante $-16(4A^3+27B^2)$ es un elemento de $\mathbf Z^\times = \{\pm 1\}$. ¿Es esto cierto?
Pero el valor absoluto del valor del discriminante es, al menos,$16$, lo que nunca es $1$. QED
Es esta una correcta prueba?
