Inspirado por el atroz problema de la OMI 1988, he simulado el entero de las soluciones a la ecuación
$$ (ab + 1) \mid (a^{2} + b^{2}) \tag{*}$$
para $1 \leq a, b \leq 3000$ y conjeturó que cada solución se plantea como un par adyacente de los números en la siguiente secuencia
$$ a_{0} = 0, \quad a_{1} = m, \quad \text{and} \quad a_{n+2} = ma_{n+1} - a_{n} $$
para algunos $m \in \Bbb{Z}$. De hecho, se puede comprobar que cualquier par $(a, b) = (a_{n}, a_{n+1})$ da lugar a una solución a $\text{(*)}$ con
$$ \frac{a_{n+1}^{2} + a_{n}^{2}}{a_{n+1}a_{n} + 1} = m^{2}. $$
Yo era incapaz de probar esta conjetura como estoy jamón mano en la teoría de números. Me pueden ayudar a demostrar o refutar esto?