10 votos

Conjetura sobre entero de soluciones a la ecuación de $ (ab + 1) \mid (a^{2}+b^{2})$

Inspirado por el atroz problema de la OMI 1988, he simulado el entero de las soluciones a la ecuación

$$ (ab + 1) \mid (a^{2} + b^{2}) \tag{*}$$

para $1 \leq a, b \leq 3000$ y conjeturó que cada solución se plantea como un par adyacente de los números en la siguiente secuencia

$$ a_{0} = 0, \quad a_{1} = m, \quad \text{and} \quad a_{n+2} = ma_{n+1} - a_{n} $$

para algunos $m \in \Bbb{Z}$. De hecho, se puede comprobar que cualquier par $(a, b) = (a_{n}, a_{n+1})$ da lugar a una solución a $\text{(*)}$ con

$$ \frac{a_{n+1}^{2} + a_{n}^{2}}{a_{n+1}a_{n} + 1} = m^{2}. $$

Yo era incapaz de probar esta conjetura como estoy jamón mano en la teoría de números. Me pueden ayudar a demostrar o refutar esto?

0voto

Ed Krohne Puntos 67

Este problema ha resolver es de seis años en china,se puede konw chino el idioma Chino?

y este problema solución completa en este libro(página 457):puede descargar : http://ishare.iask.sina.com.cn/f/22755033.html?sudaref=www.baidu.com&retcode=0

debido a este problema la solución es muy feo,así que yo solo post Este problema los resultados tenemos $(a,b)=(a_{k},b_{k})$,y

$$a_{k}=\dfrac{d}{\sqrt{d^4-4}}\left(\left(\dfrac{d^2+\sqrt{d^4-4}}{2}\right)^k- \left(\dfrac{d^2-\sqrt{d^4-4}}{2}\right)^k\right)$$ y $$b_{k}=a_{k+1},k=1,2,\cdots,b_{k}\ge a_{k}$$ donde $d^2=m=gcd(a,b)$

0voto

zyx Puntos 20965

He simulado el entero de las soluciones a la ecuación de $ (ab + 1) \mid (a^{2} + b^{2})$ $1 \leq a, b \leq 3000$ y conjeturó que cada solución se plantea como un par adyacente de los números en la siguiente secuencia

$$ a_{0} = 0, \quad a_{1} = m, \quad \text{and} \quad a_{n+2} = ma_{n+1} - a_{n} $$

para algunos $m \in \Bbb{Z}$.

Sí, esa es otra manera de expresar lo que sucede en la prueba de la OMI 1988/6 que inspiró a sus cálculos.

La prueba se describe un algoritmo que reduce un entero solución de $(a,b)$ $0 < a \leq b$ a una solución más pequeña. La repetición de la reducción de muchas veces, uno llega a $a=0$ $b=m$ para algunos entero $m$. Haciendo el proceso de reducción en el reverso es el mismo que el de su relación de recurrencia (constante entero $m$), y se reproducen todas las soluciones $(a,b)$ con que valor de $m$.

Tomando la unión a lo largo de todas las $m$ da su conjetura (positivos $m$).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X