¿Cuáles son todos los espacios topológicos obtenidos por pegado de las aristas de un triángulo?

Question

Actualmente estoy aprendiendo acerca de la poligonal presentaciones de las superficies.

En la notación que estoy usando (siguiente Lee "Topológico Manifold"), $\langle a, b \ |\ aba^{-1}b^{-1}\rangle$ es una presentación de los torus $\mathbb{T}^2$, e $\langle a,b\ |\ abab \rangle$ es una presentación de la real proyectiva avión $\mathbb{P}^2$. Ambos de estos ejemplos puede ser pensado como la especificación de labellings y orientaciones de los bordes de un cuadrado, que a su vez especificar cómo pegar los bordes juntos para la obtención de las respectivas superficies.

Como un ejercicio divertido para mí, estoy tratando de lista de todos los posibles espacios topológicos (superficies?) que pueden resultar de la pegando los bordes de un triángulo. Suponemos que los siguientes cinco cuatro presentaciones de representar todos los posibles tales espacios (hasta homeomorphism), y también se conjetura que caen en la homeomorphism clases: $$\langle a \ | \ aaa\rangle \approx \text{?}$$ $$\langle a \ | \ aaa^{-1}\rangle \approx \text{?}$$ $$\langle a, b \ | \ aab\rangle \approx \text{?}$$ $$\langle a, b, c \ | \ abc\rangle \approx \mathbb{D}^2 \text{ (closed disk)}$$

Preguntas: ¿Son estas, de hecho, todos ellos (hasta homeomorphism), o hay algunos que me he perdido? Son dos en esta lista homeomórficos (lo que significa que me he doble cuenta)? Y hay descripciones comunes de la homeomorphism clases con signos de interrogación? (Me doy cuenta de que "las descripciones comunes" es vaga.)

EDIT: Por "cinco" yo, por supuesto, significa "cuatro". Es decir, $$\langle a, b \ | \ aa^{-1}b\rangle \approx \mathbb{D}^2,$$ que es geométricamente claro sobre el dibujo de la imagen.

Nota: Estos son, de hecho , de planta poligonal, presentaciones, y no presentaciones de grupo. Debido a que estamos tratando con triángulos (que son, en cierto sentido degenerados), que no siempre se puede leer en el grupo fundamental directamente de la poligonal de la presentación como si se tratara de una presentación a un grupo. En el ejemplo de la "EDITAR" ilustra esto.

Answer 1

$aab$ es una banda de Möbius. $aaa$ no es una superficie, ni es $aaa^{-1}$, como con tres cosas que vienen juntas no estás localmente homeomórficos a un plano o semiplano.

EDIT: En los comentarios, puedo mencionar uno puede demostrar que $aab$ es una banda de Möbius invocando el teorema de clasificación de superficies (aunque accidentalmente, me escribió la caracterización del lugar de la clasificación). Otra manera de hacerlo consiste en la cirugía. Primera nota de que $aab=aabc$. A continuación, dibuje una línea desde el $aa$ esquina a la $bc$ esquina, y cortar a lo largo de esa línea para obtener dos triángulos, $adc$$abd^{-1}$. Ahora ponga las dos triángulos de nuevo juntos, pero la identificación de los bordes de la etiqueta $a$;$dcdb^{-1}$, lo que se reconoce como una banda de Möbius.

Answer 2

En lo que respecta a $aaa$ este tiene un algo común descripción de la pseudo plano proyectivo de orden $3$. En general, el pseudo plano proyectivo de orden $n$ puede ser definido de una manera similar, mediante la adopción de un regular $n$-gon con la presentación de $a^n$. También mi topología profesor se refirió a $aaa^{-1}$ como el tonto de la tapa de espacio.