Cuando se puede esperar una solución clásica de un PDE?

Question

Cuando la solución de un PDE, puede ser una solución clásica o una solución débil (o solución de distribución). Pero me estoy preguntando que cuando la gente habla de "encontrar una solución" a algunos de los PDE, a qué hacen referencia?

Pensemos, por ejemplo, en Folland la Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, en el Capítulo 3, la cual se dedica a la solución de la Dirichlet y Neumann problemas para el Laplaciano por el método de capa potenciales.

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OK, se puede decir que es bastante depende del contexto. Puede ser demasiado vago para hacer este tipo de preguntas aquí. Me deja "reformular" la cuestión un poco:

• Cuando se puede esperar una solución clásica de un PDE?
• Existe una regla de oro para cuando un PDE puede no tener una solución clásica, de tal manera que uno se tiene que buscar una débil?

Creo que puede ser conveniente restringir la atención a los tres tipos clásicos de ecuaciones en derivadas parciales; es decir, las ecuaciones de Poisson, el calor de ecuaciones y ecuaciones de onda.

Answer 1

En lugar de considerar los tres tipos de inhibidores de la PDE en la OP, se puede restringir la atención a la constante coeficiente de operadores. Entonces uno tiene el siguiente buen resultado, lo que he aprendido de Folland la Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales (Capítulo 1 (1.54)):

Si $L$ es un operador diferencial con coeficientes constantes en ${\mathbb R}^n$ $f\in C^{\infty}_c({\mathbb R}^n)$ existe $u\in C^{\infty}({\mathbb R}^n)$ tal que $Lu=f$.

Este es un corolario inmediato de la existencia de una solución fundamental:

La Malgrange-Ehrenpreis Teorema De
Cada operador diferencial $L$ con coeficientes constantes tiene una solución fundamental.

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Nota:
Con una solución fundamental a $K$ en la mano, podemos resolver la ecuación de $Lu=f$ no sólo al $f\in C^{\infty}_c$ pero cuando $f$ es cualquier distribución con soporte compacto; la solución de $u$ será entonces una distribución.