Sobre la prueba de B. Ya Levin de que $|f(x)| \leq M$ implica $|f(x+iy)| \leq Me^{\sigma y}$

Question

Esta pregunta se refiere a los teoremas 1 a 3 de las páginas 37-38 de la obra de B. Ya Levin Conferencias sobre funciones enteras , disponible en Google Books .

Si no puede acceder al enlace de Google Books, también hay una captura de pantalla de la parte correspondiente del libro disponible aquí: http://i.stack.imgur.com/8f9kV.jpg

Estoy tratando de entender las pruebas de estos tres teoremas para el caso en que se cumplan las hipótesis del Teorema 3.

En el teorema 3, $f$ es una función analítica en $\operatorname{Im} z \geq 0$ que está limitada en el eje real por una constante, $M$ . Además, hay un número positivo $\sigma$ tal que, para cualquier $\epsilon > 0$ el límite

$$|f(z)| < e^{(\sigma + \epsilon)|z|}$$

se mantiene para $|z|$ suficientemente grande con $\operatorname{Im} z > 0$ . El teorema afirma que, para tal $f$ ,

$$|f(x+iy)| \leq M e^{\sigma y}$$

para todos $x+iy \in \mathbb C$ con $y \geq 0$ .

Para demostrar el Teorema 3, el autor recomienda aplicar el Teorema 2 con $\alpha = \pi/2$ y $\rho = 1$ a la función girada $f(iz)$ . (En realidad, el autor sugiere utilizar $f(-iz)$ en su lugar, pero creo que se trata de un error tipográfico. Esta función no es analítica para $\operatorname{Re} z > 0$ que es un requisito del Teorema 2).

Ahora, en el Teorema 2, el autor define

$$D = \left\{z : |\arg z| < \alpha = \frac{\pi}{2\rho}\right\} = \{z:\operatorname{Re}z > 0\}$$

y

$$\varphi_\epsilon(z) = f(iz)e^{-(\sigma + \epsilon)z}.$$

La función $\varphi_\epsilon$ está limitada por $M$ en el límite de $D$ ya que

$$|\varphi_\epsilon(ix)| = \left|f(-x) e^{i(\sigma + \epsilon)x}\right| \leq M.$$

Además, tiende a cero a lo largo del eje real positivo. En efecto, para $|z|$ lo suficientemente grande tenemos $|f(z)| < e^{(\sigma + \epsilon/2)|z|}$ Así pues, para $x > 0$ lo suficientemente grande vemos que

$$|\varphi_\epsilon(x)| < e^{(\sigma+\epsilon/2)x}e^{-(\sigma+\epsilon)x} = e^{-x\epsilon/2}.$$

Por lo tanto, hay una constante $C_\epsilon$ tal que

$$|\varphi_\epsilon(x)| \leq C_\epsilon$$

para todos $x \geq 0$ . Creo que esto es lo que el autor quiere decir con la primera frase de la prueba,

La función $\varphi_\epsilon(z)$ está acotado en un rayo positivo y en la frontera de $D$ .

Puedo entender la siguiente línea,

Según el teorema anterior [Teorema 1], está limitada por una constante en cada ángulo $D_+ = \{z:0<\arg z<\pi/2\}$ y $D_- = \{z:-\pi/2<\arg z<0\}$ .

Aquí el autor parece haber aplicado el Teorema 1 con $\rho = 1$ y $\lambda = 2$ a $\varphi_\epsilon(z)$ en cada uno de los ángulos $D_+$ y $D_-$ . Parece que el $M$ en el Teorema 1 se tomó como $\max\{M,C_\epsilon\}$ . Esta es entonces la constante límite a la que se hace referencia.

No entiendo la siguiente línea,

Aplicando de nuevo el teorema anterior, obtenemos $|\varphi_\epsilon(z)| \leq M$ para $z \in D$ .

¿Cómo se ha aplicado esta vez el teorema anterior? ¿Cómo concluye que $|\varphi_\epsilon(z)| \leq M$ cuando aparentemente sólo tenemos

$$|\varphi_\epsilon(z)| \leq \max\{M,C_\epsilon\}?$$

Answer 1

La primera aplicación del Teorema 1 actualiza el límite superior de $M_\varphi$ de algún poder de $r$ a una constante. Ahora podemos tomar $\rho$ para ser $0$ (o arbitrariamente cerca de $0$ ) en el Teorema 1 y aplicarlo a $\varphi$ en todo el ángulo $D$ . Desde $|\varphi|\le M$ en los lados del ángulo, obtenemos $|\varphi|\le M$ en el interior.

En otras palabras, el ángulo $D$ era demasiado grande para que Theorem 1 lo masticara de una vez, así que se lo comió en dos bocados, lo regurgitó y lo volvió a masticar.