Esta pregunta se refiere a los teoremas 1 a 3 de las páginas 37-38 de la obra de B. Ya Levin Conferencias sobre funciones enteras , disponible en Google Books .
Si no puede acceder al enlace de Google Books, también hay una captura de pantalla de la parte correspondiente del libro disponible aquí: http://i.stack.imgur.com/8f9kV.jpg
Estoy tratando de entender las pruebas de estos tres teoremas para el caso en que se cumplan las hipótesis del Teorema 3.
En el teorema 3, $f$ es una función analítica en $\operatorname{Im} z \geq 0$ que está limitada en el eje real por una constante, $M$ . Además, hay un número positivo $\sigma$ tal que, para cualquier $\epsilon > 0$ el límite
$$ |f(z)| < e^{(\sigma + \epsilon)|z|} $$
se mantiene para $|z|$ suficientemente grande con $\operatorname{Im} z > 0$ . El teorema afirma que, para tal $f$ ,
$$ |f(x+iy)| \leq M e^{\sigma y} $$
para todos $x+iy \in \mathbb C$ con $y \geq 0$ .
Para demostrar el Teorema 3, el autor recomienda aplicar el Teorema 2 con $\alpha = \pi/2$ y $\rho = 1$ a la función girada $f(iz)$ . (En realidad, el autor sugiere utilizar $f(-iz)$ en su lugar, pero creo que se trata de un error tipográfico. Esta función no es analítica para $\operatorname{Re} z > 0$ que es un requisito del Teorema 2).
Ahora, en el Teorema 2, el autor define
$$ D = \left\{z : |\arg z| < \alpha = \frac{\pi}{2\rho}\right\} = \{z:\operatorname{Re}z > 0\} $$
y
$$ \varphi_\epsilon(z) = f(iz)e^{-(\sigma + \epsilon)z}. $$
La función $\varphi_\epsilon$ está limitada por $M$ en el límite de $D$ ya que
$$ |\varphi_\epsilon(ix)| = \left|f(-x) e^{i(\sigma + \epsilon)x}\right| \leq M. $$
Además, tiende a cero a lo largo del eje real positivo. En efecto, para $|z|$ lo suficientemente grande tenemos $|f(z)| < e^{(\sigma + \epsilon/2)|z|}$ Así pues, para $x > 0$ lo suficientemente grande vemos que
$$ |\varphi_\epsilon(x)| < e^{(\sigma+\epsilon/2)x}e^{-(\sigma+\epsilon)x} = e^{-x\epsilon/2}. $$
Por lo tanto, hay una constante $C_\epsilon$ tal que
$$ |\varphi_\epsilon(x)| \leq C_\epsilon $$
para todos $x \geq 0$ . Creo que esto es lo que el autor quiere decir con la primera frase de la prueba,
La función $\varphi_\epsilon(z)$ está acotado en un rayo positivo y en la frontera de $D$ .
Puedo entender la siguiente línea,
Según el teorema anterior [Teorema 1], está limitada por una constante en cada ángulo $D_+ = \{z:0<\arg z<\pi/2\}$ y $D_- = \{z:-\pi/2<\arg z<0\}$ .
Aquí el autor parece haber aplicado el Teorema 1 con $\rho = 1$ y $\lambda = 2$ a $\varphi_\epsilon(z)$ en cada uno de los ángulos $D_+$ y $D_-$ . Parece que el $M$ en el Teorema 1 se tomó como $\max\{M,C_\epsilon\}$ . Esta es entonces la constante límite a la que se hace referencia.
No entiendo la siguiente línea,
Aplicando de nuevo el teorema anterior, obtenemos $|\varphi_\epsilon(z)| \leq M$ para $z \in D$ .
¿Cómo se ha aplicado esta vez el teorema anterior? ¿Cómo concluye que $|\varphi_\epsilon(z)| \leq M$ cuando aparentemente sólo tenemos
$$ |\varphi_\epsilon(z)| \leq \max\{M,C_\epsilon\}? $$
