Isomorfismos entre un espacio finito-dimensional del Vector y su doble

Question

Así, sabemos que no es "natural" isomorfismo entre un número finito de dimensiones de espacio vectorial $X$ y su dual $X^{\vee}$. Sin embargo, dada una base para $X$ $(e_1, \dots, e_n)$ siempre podemos construir una (doble) $(e^1, \dots, e^n)$ $X^{\vee}$ que satisface $e^i(e_j) = \delta^i_j$. De ello se desprende que $V \approx V^{\vee}$ simplemente porque tienen la misma dimensión finita $n$. Ahora, me parece a mí que se puede construir un isomorfismo mediante la asignación de $$e_i \mapsto e^i$$ y se extiende por la linealidad. Es decir, para un vector arbitrario $v \in X$ $v = \sum v^ie_i$ podemos especificar un lineal mapa

$$\phi:V \rightarrow V^{\vee}$$

por

$$\phi(\sum v^ie_i) := \sum v^ie^i$$ Es un ejercicio rápido para comprobar que $\phi$ es un isomorfismo. Ahora, aunque esta construcción parece correcto, hay algo que no acaba de sentarse a la derecha conmigo sobre ello. Para una cosa, no hay realmente ninguna manera de hacer sentido de que el convenio de sumación como el derecho y el lado de la función siempre contienen dos superíndices por lo que se requiere de una explícita simbolo. La otra cosa que se siente fuera de lugar que realmente está tomando un índice inferior y su traslado a un superior índice, es decir, $e_i \mapsto e^i$ (que, por supuesto, es la razón de que el convenio de sumación de no trabajo).

Así que, con estos antecedentes, mis preguntas son

1. ¿Hay algún sentido en el que el anterior isomorfismo es "favorecida" o "canónica"?

2. Hay otro camino para la construcción de un isomorfismo entre un espacio vectorial y su doble, que sería la de "conservar los índices", por falta de una mejor forma de estado. Mi suposición aquí es que la respuesta es no, pero se hace posible si se supone que el $V$ tiene un producto interior.

Answer 1

Pregunta 1: El problema es que si cambio la base, entonces la base dual de cambios también, pero de una manera diferente. Más precisamente, supongamos que decidimos utilizar la base $f_i = M e_i$ en lugar de la base $e_i$. A continuación, la correspondiente base dual $f_i^{\ast}$ (pensamiento de $e_i^{\ast}$ como un funcional lineal $V \to k$) está dado por $f_i^{\ast} = e_i^{\ast} M^{-1}$. De hecho, la definición de la propiedad de la base dual, es decir, que $$e_i^{\ast}(e_j) = \delta_{ij}$$

(donde $\delta_{ij} = 1$ si $i = j$ $0$ lo contrario) se cumple aquí, ya que $$f_i^{\ast}(f_j) = e_i^{\ast} M^{-1} M e_i = e_i^{\ast} e_j = \delta_{ij}.$$

Tenga en cuenta que $M^{-1}$ actúa sobre la derecha en lugar de a la izquierda, de modo que si uno insiste en que en la escritura de transformaciones lineales que actúan como matrices de la izquierda, entonces debemos además tomar la transpuesta.

Esto es un reflejo del hecho de que tomar el doble de los espacios es un functor contravariante en lugar de una covariante.

Pregunta 2: Para $V$ finito-dimensional, la especificación de un isomorfismo $V \to V^{\ast}$ es equivalente a la especificación de un bilineal no degenerada forma de $V \times V \to k$. De esta forma no necesita ser simétrica o un producto interior en general (de hecho, la noción de sentido a través de un campo arbitrario, y un campo arbitrario no tiene una noción de positividad).