¿Hace $2 x ^ 2-1 = y ^ 5$ tienes una solución en números enteros, con $y > 1$?

Question

En mi solución a este MSE problema, he notado que $2x^2-1=y^5$ es improbable que tenga soluciones en enteros con $y>1$. Recientemente, he tratado de encontrar una prueba, sin éxito.

Siguiendo a santo Tomás Andrews de la propuesta (ver su solución para el mismo problema), se comienza por escribir $1-2x^2=(-y)^5$. Trabajo en el ring de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ podemos factorizar este $$(1-x\sqrt{2})(1+x\sqrt{2})=\text{ a la quinta potencia }.$$ Después de mostrar que $1-x\sqrt{2}$ y $1+x\sqrt{2}$ son relativamente primos (siempre trabajando en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$), la ecuación obligaría a $$1+x\sqrt{2}=u(a+b\sqrt{2})^5$$ para algunos enteros $a,b$ y algunos de unidad de $u$.

El grupo de unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es dada por $\pm (1+\sqrt{2})^n$ para $n\in \mathbb{Z}$. Un signo menos podría ser absorbido en el quinto poder, por lo que solo tenemos que mostrar que $A$1+x\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^\delta(a+b\sqrt{2})^5$$ para algunos enteros $a,b$ y $0\leq \delta\leq 4$ de las fuerzas de $|x|\leq 1$. Aquí estoy siguiendo el método de descrito por Adrián Barquero en este MSE pregunta para lidiar con una infinita grupo de unidades.

Por $\delta=0$, es bastante sencillo, pero por $\delta=1$, que había necesidad de mostrar que $$1= a^5+20^3 b^2+20 a b^4+10^4b+40 a^2b^3+8b^5$$ no es posible, a excepción de la trivial solución $a=1$ y $b=0$. No he hecho ningún progreso con este, o el otro expresiones similares que tenemos cuando $\delta=2,3,4$. Estoy atascado aquí, y este problema me parece ser como difícil, ya que la pregunta original.

Pregunta: ¿Puede el método que se describe aquí ser empujado a través de dar una solución completa,que o ¿este problema requieren un mayor nivel de planteamientos?

Claro que estoy fuera de mi profundidad con la teoría algebraica de números, por lo que cualquier sugerencia o referencias que son adecuados para los aficionados, será muy apreciada.

Actualización (Feb. 20) he seguido Ewan sugerencia y probado todos los casos $\delta=0,1,2,3,4$ con Salvia y realmente no hay soluciones con $y>1$. Voy a esperar un par de días antes de recompensar la generosidad en el caso de primaria, la solución es dada. De lo contrario, irá a Ewan.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es SÍ, el método puede ser empujado a una solución completa, si usted está dispuesto a confiar en algún estándar de la teoría de números software (consulte a continuación). Por supuesto, usted todavía puede pedir para un equipo libre de la prueba, que por desgracia no puede existir, porque de lo terriblemente complicados cálculos necesarios.

Se le preguntó acerca de la ecuación $Q(a,b)=1$, donde $P(a,b)=a^5 + 10ba^4 + 20b^2a^3 + 40b^3a^2 + 20b^4a + 8b^5$. Este es un Thue ecuación, que puede ser resuelto por una sola línea en GP y otros tipos de software : sólo tienes que escribir

thue(thueinit(a^5 + 10*a^4 + 20*a^3 + 40*a^2 + 20*un + 8,1),1)

y, he aquí, GP le dice que la única solución es (a=1,b=0), tal como usted lo adivinó. Usted puede descargar e instalar GP en su ordenador, o, si usted es perezoso, sólo tiene que utilizar GP directamente en línea en http://www.sagemath.org/

Si $\zeta$ denota la única raíz real de $P(1,t)=0$ y $\cal O$ denota el anillo de enteros de el campo de número de ${\mathbb Q}(\zeta)$, la ecuación $Q(a,b)=1$, se reduce al problema de encontrar una unidad en $\cal O$ de la forma $a+b\zeta$ donde $a$ y $b$ son números enteros.

Answer 2

La ecuación $1= a^5+20^3 b^2+20 a b^4+10^4b+40 a^2b^3+8b^5$ que se ejecuta en contra es de la forma $f(a,b)=1$ que $f$ es una forma homogénea de grado de al menos $3$.

Un teorema de Thue afirma que $$|f(a,b)|\geq C_{\varepsilon} (|a|+|b|)^{n/2-1-\varepsilon},$$ donde $n=\deg f$. Es equivalente a la más conocida versión que se acerca a la aproximación de números algebraicos. Si $g(x)$ es un polinomio de que un número algebraico $\alpha$ es una raíz, entonces $p^n g(p/p)$ es una forma homogénea de grado $$ n $p$ y $q$. Por el contrario, si $f(x,y)$ es una forma homogénea, entonces podemos factor $f(x,y)=\prod (x-\alpha_i y)$ para algunos números algebraicos $\alpha$. Podemos suponer que estos $\alpha$ son distintos porque podemos suponer que $f$ es irreductible. Así que, para cualquier $p,q$ $f(p,q)=C(|p|+|q|)^{n-1}(p-\alpha q)$, donde $\alpha$ es el más cercano de las raíces a $p/p$. A continuación, el resultado se sigue de que el límite inferior en $|p/q-\alpha|$.

Por lo tanto, Thue del teorema nos dice que el número de soluciones de la ecuación es finito. Sin embargo, no es ningún uso en la búsqueda de estas soluciones debido a la constante $C_{\varepsilon}$ no es eficaz, es decir, la prueba no da enlazado (le da un límite para la constante de $C_{\varepsilon}$ para que la desigualdad se cumple con una sola excepción). Roth teorema fortalece Thue del resultado, dando $|f(a,b)|\geq C_{\varepsilon}(|a|+|b|)^{n-2-\varepsilon}$, pero también sufre de no efectividad.

No son eficaces límites inferiores en homogénea formas, pero ellos vienen con bastante grande límites. Por ejemplo, Fel'dman demostradoque $$|f(a,b)|\geq C (|a|+|b|)^{c}$$ para algunos eficaz constantes positivas $C$ y $c$ que dependen de $f$ (muy mal!). Esta fue la primera potencia efectiva de obligado. No sé cuál es el estado del arte en la eficacia de las mejoras en el teorema de Liouville es, pero por lo que oigo de los límites todavía son astronómicos. Para comprobar que no hay soluciones por debajo de la cota superior de la que se obtiene a partir de estos resultados, a menudo se necesita una buena dosis de inteligencia, incluso con la ayuda de las computadoras modernas. Sin embargo, voy a exponer la verdadera profundidad de mi ignorancia si puedo decir nada más.