Probabilidad de ser coprimo de determinantes

Question

Tengo una pregunta que no es de particular importancia, pero me gustaría entender los principios subyacentes.

Supongamos que tenemos dos cuadrados matrices 3x3, $M_1$ $M_2$ con

$$M_1 = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 & a_8 & a_9 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad M_2 = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \end{pmatrix}$$

con los coeficientes $a_n,b_n \in \mathbb{Z}$ $1 \leq a_n,b_n \leq 9$

¿Cuál es la probabilidad de que las matrices determinantes son coprime, cuando uniformemente al azar coeficientes de que satisfagan las condiciones son elegidos.

Estoy familiarizado con la definición de la integral de la $\zeta$ función de la forma de averiguar la probabilidad de que dos enteros aleatorios ser coprime, pero no tengo ni idea de cómo aplicar aquí con condiciones adicionales sobre los números dados.

Hice la prueba mecánicamente, usando Mathematica y el resultado es de alrededor de 30%, pero me gustaría ver la manera adecuada de hacerlo.

Me encantaría obtener al menos un par de punteros como lo que a investigación para abordar este problema.

Muchas gracias!

Answer 1

Esta respuesta se obtuvo numéricos, pero es exacto

Hay $N=9^9$ posibilidades para elegir la matriz $m$ (cada uno con la misma probabilidad). Hay 1913 resultados posibles para $\det m$. Lo más probable es $\det m =0$. La probabilidad de este evento es de $$P[\det m = 0] = \frac{218605}{14348907} \approx 1.5\%.$$ The rest is distributed over different integer number. The largest determinant is a matrix with $\det m = 1216$. There are 3 possibilities for this matrix (therefore the probability is $P[\det m = 1216] = 3/N$). There are also 3 matrices for which $\det m=de-1216$. (in fact this is always true. If there are $n$ matrices with $\det m= x$ then there are exactly $n$ matrices with $\det m=-x$). To find out if the determinants are coprime the sign does not matter, therefore we only need to know the probabilities $$P[|\det m| = x].$$ Generically, the probability decreases for increasing $\det m$.

El valor absoluto del determinante puede asumir 957 valores. Por lo tanto, no se $957*(957+1)/2 =458403$ pares de matrices $m_1$$m_2$. De ellos hay 274487 pares coprime. (La fracción de matrices que son coprime es $274487/458403 \approx 60\%$)

Contando cada uno de los pares de matrices $m_1, m_2$ con la adecuada probabilidad, podemos obtener la probabilidad de que dos matrices son coprime $$P[ m_1 \text{ and } m_2 \text{ are coprime}]= \frac{7253958722902984}{16677181699666569} \approx 43\%.$$