Una curva que interseca cada plano en un número finito pero arbitrario de puntos

Question

¿Existe una curva suave a trozos en $\mathbb{R}^3$ ¿que cada plano interseca la curva en un número finito de puntos y el número de puntos de intersección puede ser arbitrariamente grande?

Si el número de puntos de intersección de cada plano está acotado, entonces hay un ejemplo: $\gamma(t)=(t,t^3,t^5)$ intercepta cada plano a lo sumo en cinco puntos.

Answer 1

Prueba con $(x,y,z) = (t + \sin(t^2), t^2, t^3)$ . Para cualquier $a,b,c$ (no todos $0$ ) y $d$ , $|a (t+\sin(t^2)) + b t^2 + c t^3 - d| \to \infty$ como $t \to \pm \infty$ por lo que las intersecciones están en un intervalo finito. Y como $a (t+\sin(t^2)) + b t^2 + c t^3 - d$ es analítica y no constante, tiene un número finito de ceros en un conjunto compacto. Por tanto, cualquier plano sólo tiene un número finito de intersecciones con la curva.

La curva interseca el plano $x = \sqrt{2 m \pi}$ (donde $m$ es un número entero positivo) cuando $t + \sin(t^2) = \sqrt{2 m \pi}$ . Para $t = \sqrt{2m \pi}+s$ que dice $$s + \sin((\sqrt{2m\pi}+s)^2) = s + \sin(2 \sqrt{2m\pi} s + s^2) = 0$$ En el intervalo $-1/2 < s < 1/2$ , $2 \sqrt{2m\pi}s +s^2$ corre de $-\sqrt{2m\pi} + 1/4$ a $+\sqrt{2m\pi} + 1/4$ y, por lo tanto, pasa por aproximadamente $\sqrt{2m/\pi}$ Múltiples Impares de $\pi/2$ en la que el seno es alternativamente $\pm 1$ y por lo tanto $ s + \sin(2 \sqrt{2m\pi} s + s^2)$ tiene aproximadamente $\sqrt{2m/\pi}$ cambios de señalización. Así, el número de puntos de intersección es ilimitado.