Mostrar que $3^{2008}$ + $4^{2009}$ puede ser escrito como producto de dos números enteros positivos cada uno de ellos es mayor que $2009^{182}$.

Question

Me encontré con este problema y no pude resolverlo a pesar de muchos intentos. Mostrar que $3^{2008}$ + $4^{2009}$ puede ser escrito como producto de dos números enteros positivos cada uno de ellos es mayor que $2009^{182}$.

Answer 1

Usando el $a^2+b^2 =(a+b)^2-2ab$, tenemos

$3^{2008} +4^{2009}=(3^{1004})^2+(2^{2009})^2=(3^{1004}+2^{2009})^2 - 2 \cdot 2^{2009} \cdot 3^{1004}$

Así que tenemos $3^{2008} +4^{2009}=(3^{1004}+2^{2009})^2- 2^{2010} \cdot 3^{1004}$

Ahora, usando $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, tenemos

$3^{2008} +4^{2009}=(3^{1004}+2^{2009}+2^{1005} \cdot 3^{502})(3^{1004}+2^{2009}-2^{1005} \cdot 3^{502})$

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Finalmente, no es difícil ver que $(3^{1004}+2^{2009}-2^{1005} \cdot 3^{502}) > 2009^{182}$, que se deja como ejercicio al lector.

Answer 2

Sugerencia:-

$$ a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$ $(De Sophie Germain identidad)

Answer 3

Sugerencia:-

Tratamos de decírnoslo la ecuación y mostrar que cada factor es mayor que $2009^{182}$.

$$3^{2008}+4^{2009}=(\color{green}{3^{502}})^\color{orange}{4}+\color{orange}{4}\times\color{blue}{(4^{502})}^\color{orange}{4}.$$

Ahora, curiosamente, esto es de la forma de identidad De Sophie Germain que Estados-

$$a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2).$$

Tomar, $(3^{502})=a $ y $4^{502}=b$ y resolver en dos factores y mostrar que cada factor es mayor que el valor dado de $2009^{182}$.