¿Paso a espacios de punto fijo es la función del objeto de un Funtor contravariante?

Question

Que $X$ sea un espacio-$G$, $G$ Dónde está un grupo (independiente). Para un subgrupo $H$ $G$ definir $$X^H = \{x: hx = x \text{ for all }h \in H\} \subset X;$$$X^H$ es la $H$-fijo punto subespacio de $X$. Topologize el conjunto de funciones $G/H \to X$ como el producto copias de $X$ indexadas en el % de elementos $G/H$y dar el conjunto de $G$-mapas $G/H \to X$la topología de subespacio.

¿Cuál es la forma más fácil de ver que eso paso a espacios de punto fijo, $G/H \mapsto X^H$, es la función del objeto de un Funtor contravariante del $X^{(-)}: \mathscr{O}(G) \to \mathscr{U}$?

Answer 1

En la categoría de $G$-establece, lo morfismos $f:G/H\to X$ están en correspondencia biunívoca con los elementos de $X^H$; la correspondencia envía $f$ $f(H)$ (donde el subgrupo $H$, siendo un coset de sí mismo, es un elemento de $G/H$). Después de comprobar que esta correspondencia es natural, tiene su supuesto functor, $G/H\to X^H$, es, hasta isomorfismo natural, sólo la restricción del functor representable Hom ${}_{G-sets}(-,X)$.