Integral impropia de $\dfrac{x}{e^x-1}$

Question

Este integral surgió en un ejercicio en la estimación del calor específico de un sólido de 1-D y es probablemente un estándar integral, posiblemente uno que puede ser resuelto por integración de contorno:

\begin{equation} \int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx \end{equation}

Tengo algunos conocimientos rudimentarios de integrales de contorno, pero yo no puedo llegar a un camino correcto, también debido a las muchas singularidades en el eje imaginario. ¿Cualquier sugerencia?

Answer 1

Hacer un cambio o variables, $e^{-x}=u$ y escribir la integral como

$$\int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{1 - e^{-x}}dx$$

Ahora sustituyendo da

$$-\int_0^1 \frac{\log u}{1 - u}du $$

Esta es un integral conocido que se evalúa como $\dfrac{\pi^2}{6}$.

Si quieres probarlo, puede usar el dilogarithm. Que $1-u=x$, para que

$$-\int_0^1 \frac{\log(1 - x)}{x}dx$$

Ahora, ya estamos trabajando en $(0,1)$ es legítimo utilizar

$$\frac{{ - \log \left( {1 - x} \right)}}{x} = \sum_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^{n - 1}}}}{n}} $$

Integración da termwise

$$\int_0^t \frac{-\log(1 - x)}{x} dx = \sum_{n = 1}^\infty \frac{t^n}{n^2} = \mathrm{Li}_2 (t)$$

Evaluación en $t=1$ da

$$ -\int_0^1 \frac{\log(1 - x)}{x} dx = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

Answer 2

Cualquier libro de texto que discute la función de Riemann Zeta probablemente tienen esto.

Tenemos $\Re(z) \gt 1$, que

$$ \zeta(z) \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{e^t - 1} \text{d}t$$

Tu integral es, por tanto

$$\zeta(2)\Gamma(2) = \frac{\pi^2}{6}$$

Para una discusión en línea, vea esto: http://www.math.utah.edu/~milicic/zeta.pdf