Dar un ejemplo de una función $h$ que es discontinua en cada punto de $[0,1]$, pero con $|h|$ continua en $[0,1]$

Question

Dar un ejemplo de una función de $h:[0,1]\to\mathbb{R}$ que es discontinua en todos los puntos de $[0,1]$, pero tales que la función de $| h |$ que es continua en a $[0,1]$.

Yo realmente no sé ni por dónde empezar con este. Tendría que probar que la función de $| h |$ es continua en a $[0,1]$, es decir, si tenemos cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ que si $x$ $c$ son dos puntos cualesquiera en $[0,1]$$|x-c| < \delta$,$|f(x) - f(c)| < \varepsilon$. Alternativamente, podría usar la definición de límite. Pero sólo puedo pensar en las funciones que son discontinuas en algunos puntos en $[0,1]$ más que todos... me siento como que me falta algo obvio aquí, pero cualquier ayuda es muy apreciada. Esta es una pregunta sobre un pasado en el final.

Answer 1

Yo empezaría con una función que es discontinua en cada punto de $[0, 1]$. La norma es

$$f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}\cap[0, 1]\\ 0 & x \notin \mathbb{Q}\cap[0, 1] \end{casos} $$

Cuál es la función indicadora del conjunto $\mathbb{Q}\cap[0, 1]$. Ver si de alguna manera se puede ajustar para su propósito.

Answer 2

Usted puede aplicar ingeniería inversa a un ejemplo. Desea $|f|$ a ser continuo, de modo que ¿cuál es el ejemplo más sencillo de una función continua? por supuesto que la constante de $0$ función. Así, supongamos $|f(x)|=0$. Pero entonces, ¿qué puede posiblemente $f(x)$? tiene que ser $f(x)=0$, lo que es una función continua. Así que esto no funciona. Ok, y luego tomar las $|f(x)|=0$ era demasiado optimista. Vamos a intentar otro ejemplo de una simple función continua, supongamos $|f(x)|=1$ todos los $x\in [0,1]$. Ahora, para todas las $x\in [0,1]$, lo que puede a$f(x)$? ahora hay dos posibilidades: $f(x)=\pm 1$. Bueno, tenemos cierta libertad para jugar con los valores de $f$. Ahora, jugando con los dos valores de $\pm 1$, ¿cómo nos aseguramos de $f$ no va a ser continua en cualquier punto? bien, necesitamos alternar como un loco entre estos dos valores. Así que nos quiere decir algo como $f(x)=1$ si $x$ es de tipo I, y $f(x)=-1$ si $x$ no es de tipo I, y de tal manera que los puntos de tipo I son densos y puntos de tipo I también son densos. Por supuesto, los racionales $\mathbb Q\cap [0,1]$ son densos y la irrationals $[0,1]-\mathbb Q$ son densos, por lo que va a hacer el truco.