Puntos límite y puntos interiores

Question

Estoy leyendo el libro de Rudin sobre análisis real y estoy atascado en algunas definiciones.

Primero, aquí está la definición de un punto límite/interior (no palabra a palabra de Rudin) pero estas definiciones están redactadas por mí (un estudiante de pregrado) así que por favor corríjanme si no son rigurosas. El contexto aquí es topología básica y se trata de conjuntos métricos con la función distancia como métrica.

Un punto $p$ de un conjunto $E$ es un punto límite si cada vecindad de $p$ contiene un punto $q \neq p$ tal que $ q \in E$

Además, un punto interior se define como

Un punto $p$ de un conjunto $E$ es un punto interior si existe un vecindad $N_r\{p\}$ que figura en $E$ (es decir, es un subconjunto de E).

Comprendo los puntos interiores. Por supuesto, dado un punto $p$ puede tener cualquier radio $r$ que hace que este barrio encaje en el conjunto. Así es como lo veo, así es como me lo imagino.

No entiendo los puntos límite. Me parece trivial que digamos que tienes un punto $p$ . Entonces una de sus vecindades es exactamente el conjunto en el que está contenida, ¿no? es decir, se puede elegir un radio lo suficientemente grande como para que la vecindad quepa en el conjunto.

Por supuesto, sé que esto es falso. Nuestro profesor nos dio un ejemplo de un subconjunto de los números enteros. Dijo que este subconjunto no tiene puntos límite, pero no puedo ver cómo.

Answer 1

Entiendo en tu comentario anterior a la respuesta de Jonas que te gustaría que estas cosas se desglosaran en términos más sencillos.

Piensa en los puntos límite visualmente. Supongamos que tenemos un punto $p$ que es un punto límite de un conjunto $E$ . ¿Qué significa esto? En términos sencillos (sin cuantificadores) significa que no importa qué bola saques sobre $p$ esa bola siempre contendrá un punto de $E$ diferente de $p.$

Por ejemplo, fíjate en el primer ejemplo de Jonas. Lo que debes hacer donde quiera que estés ahora es dibujar la recta numérica, el punto $0$ y luego puntos del conjunto que Jonas describió anteriormente. A saber, dibujar $1, 1/2, 1/3,$ etc. (¡por supuesto, no sería posible dibujarlos todos!).

Ahora una bola abierta en el espacio métrico $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana habitual no es más que un intervalo abierto de la forma $(-a,a)$ donde $a\in \mathbb{R}$ . Ahora afirmamos que $0$ es un punto límite. ¿Cómo?

dándome un intervalo abierto sobre $0$ . Por ahora que sea $(-0.5343, 0.5343)$ un intervalo aleatorio que saqué del aire. La pregunta ahora es si este intervalo contienen un punto $p$ del conjunto $\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ diferente de $0$ ? Pues claro, porque por la propiedad arquimediana de los reales dado cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar $n \in N$ tal que

$$0 < \frac{1}{n} < \epsilon.$$

De hecho, usted debe ser capaz de ver de esta inmediatamente que si o no elegí el intervalo abierto $(-0.5343,0.5343)$ , $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ o cualquier intervalo abierto.

Veamos ahora el conjunto $\mathbb{Z}$ como subconjunto de los reales. Lo que tienes que hacer ahora es coger un papel, trazar la recta numérica y dibujar unos puntos en ella para representar los números enteros. ¿Puedes ver por qué eres capaz de dibujar una bola alrededor de un entero que no contiene ningún otro entero ?

Una vez entendido esto, mira la siguiente definición a continuación:

$\textbf{Definition:}$ Sea $E \subset X$ un espacio métrico. Decimos que $p$ es un punto límite de $E$ si para todo $\epsilon > 0$ , $B_{\epsilon} (p)$ contiene un punto de $E$ diferente de $p$ .

$\textbf{The negation:} $ Un punto $p$ no es un punto límite de $E$ si existe algún $\epsilon > 0$ tal que $B_{\epsilon} (p)$ no contiene ningún punto de $E$ diferente de $p$ .

A partir de la negación anterior, ¿puedes ver ahora por qué cada punto de $\mathbb{Z}$ satisface la negación? Ya sabes que puedes dibujar una bola alrededor de un número entero que no contenga ningún otro número entero.

Answer 2

Consideremos el conjunto $\{0\}\cup\{\frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ como subconjunto de la recta real. Consideremos 2 puntos diferentes de este conjunto. En primer lugar, consideremos el punto $1$ . ¿Es un punto límite?

No. De hecho, si elegimos una bola de radio menor que $\frac{1}{2}$ entonces ningún otro punto estará contenido en él. Así que no es un punto límite.

Considere el punto $0$ . Para cualquier bola de radio, existe un punto $\frac{1}{n}$ menor que ese radio (principio de Arquímedes y todo eso). Por tanto, toda vecindad de ese punto contiene otros puntos de ese conjunto. Por tanto, es un punto límite.

¿Tiene sentido?

Answer 3

La definición de punto límite no es del todo correcta, porque $p$ no necesita estar en $E$ sea un punto límite de $E$ .

Tenga en cuenta que para $p$ sea un punto límite de $E$ , cada barrio de $p$ por pequeña que sea, debe intersecarse $E$ en puntos distintos de $p$ . Así que si hay una bola lo suficientemente pequeña en $p$ para que no $E$ por completo (a menos que $p$ resulta estar en $E$ ), entonces $p$ no es un punto límite. Cuando $p$ es un punto límite, hay puntos de $E$ arbitrariamente cerca de $p$ .

Ejemplos:

• En $\mathbb R$ , $0$ es un punto límite de $\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb Z^{>0}\right\}$ pero $-1$ no lo es.
• En $\mathbb R$ , $\mathbb Z$ no tiene puntos límite. Para cada $p\in\mathbb R$ existe un número entero más próximo $n\neq p$ y la bola de radio $|p-n|$ centrado en $p$ no se cruza con $\mathbb Z$ (excepto quizás en $p$ ).

Si $p$ no es un punto límite de $E$ y $p\in E$ entonces $p$ se denomina punto aislado de $E$ . Es una buena terminología, porque $p$ está "aislada" del resto de $E$ por una vecindad suficientemente pequeña (mientras que los puntos límite siempre tienen vecinos de $E$ ). Si $p$ no está en $E$ no siendo un punto límite de $E$ equivale a estar en el interior del complemento de $E$ .

Answer 4

Para un punto límite $p$ de $E$ (donde $p$ no necesita estar en $E$ para empezar, por lo que esa parte de la definición es errónea) necesitamos que cada barrio de $p$ se cruza con $E$ en un punto distinto de $p$ .

Veamos por qué los enteros $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ no tienen puntos límite: si $x$ no es un número entero, entonces $n$ sea el mayor número entero menor que $x$ entonces $x$ está en el intervalo $(n, n+1)$ y esto es una vecindad de $x$ que falla $\mathbb{Z}$ por completo, así que $x$ no es un punto límite de $\mathbb{Z}$ .

Por supuesto son barrios de $x$ que do contienen puntos de $\mathbb{Z}$ pero esto es irrelevante: necesitamos todos barrios de $x$ para contener dichos puntos. Por tanto, para demostrar que un punto es no un punto límite, basta con una vecindad bien elegida y para demostrarlo es debemos considerar todos barrios.

Continuando con la prueba: si $x = n$ es un número entero, entonces $(n-1, n+1)$ es una vecindad de $x = n$ que se cruza con $\mathbb{Z}$ sólo en $x$ por lo que esto demuestra de nuevo que $x$ no es un punto límite de $\mathbb{Z}$ Una vecindad basta para demostrarlo.

Un ejemplo positivo $A = (0,1)$ . Entonces cada punto de $A$ es un punto límite de $A$ y también $0$ y $1$ son puntos límite de $A$ que no están en $A$ mismo. Para ver esto por $0$ por ejemplo, cualquier barrio $O$ de $0$ contiene un conjunto de la forma $(-r,r)$ para algunos $r > 0$ y luego $r/2$ es un punto de A, desigual a $0$ en $(-r,r) \subset O$ y como lo hemos demostrado para cada vecindad $O$ , $0$ es un punto límite de $A$ .

Answer 5

Estaba leyendo este post tratando de entender el libro de rudins y figurate una manera simple de entender esto. En un punto límite puedes elegir CUALQUIER distancia y tendrás un punto q incluido en E, en cambio en un punto interior sólo necesitas UNA distancia para que q esté incluido en E