Determinar todas las $a\in\mathbb{Z}$ tal que $a^3-8a^2-14a+144$ es el primer

Question

Aquí es un problema de mi maestro.

No seguramente que no hay ningún error.

Determinar todas las $a\in\mathbb{Z}$ tal que $a^3-8a^2-14a+144$ es primo.

Encontré que $a$ debe en forma $6k+5$, pero no tenía nada que hacer a continuación.

He intentado factor mientras que no se pudo.

Answer 1

Tengo la fuerte sospecha de un error tipográfico.

Deje $f(x)=x^3-8x^2-14x+144$.

1. $f(x)$ ha líder coeficiente de $1$, lo cual es positivo.
2. $f(x)$ no tiene ningún entero raíces, por lo tanto irreductible en $\mathbb{Z}[x]$.
3. $f(5)=-1$ $\gcd(f(1), f(2), \ldots)=1$.

Ahora $f(x)$ satisface las condiciones de Bunyakovsky de la conjetura. A mi conocimiento, no queda probada para polinomios con grado de $>1$. (El grado de $1$ de los casos corresponde a la del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas)