Una pregunta sobre un espacio compacto

Question

Espectáculo:

Si el cierre de cada subconjunto discreto de un espacio es compacto, entonces todo el espacio es compacto.

Gracias por adelantado:)

Answer 1

Me doy cuenta de que esto es una tarea, pero no veo la manera de dar una pista útil.

Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff en el que el cierre de cada subconjunto discreto es compacto. Es evidente que $X$ no contiene ningún subconjunto cerrado infinito y, por tanto, es contablemente compacto. Supongamos que $X$ no es compacto. Entonces hay un cardinal incontable regular $\kappa$ y una tapa abierta $\mathscr{U}=\{U_\xi:\xi<\kappa\}$ tal que $U_\xi\subsetneqq U_\eta$ siempre que $\xi<\eta<\kappa$ y $\mathscr{U}$ no tiene una subcubierta finita. Para cada $\xi<\kappa$ dejar $x_\xi\in U_{\xi+1}\setminus U_\xi$ y que $Y=\{x_\xi:\xi<\kappa\}$ claramente $Y$ está separada por la derecha (es decir, los segmentos iniciales están relativamente abiertos).

Dejemos que $\mathscr D=\{D\subseteq Y:D\text{ is discrete}\}$ . Para $D_0,D_1\in\mathscr{D}$ definir $D_0\preceq D_1$ si $D_0\subseteq D_1$ y $\xi<\eta$ siempre que $x_\xi\in D_0$ y $x_\eta\in D_1\setminus D_0$ . (En otras palabras, $D_0\preceq D_1$ si $D_0$ es un segmento inicial de $D_1$ con respecto al orden del pozo en $Y$ inducido por los subíndices ordinales). Es evidente que $\langle\mathscr{D},\preceq\rangle$ es un orden parcial. Supongamos que $\mathscr{C}$ es una cadena en $\langle\mathscr{D},\preceq\rangle$ . Sea $D=\bigcup\mathscr{C}$ y supongamos que $x_\xi\in D$ . Arreglar $C\in\mathscr{C}$ con $x_\xi\in C$ ; $C$ es discreto, por lo que existe un nbhd abierto $V$ de $x_\xi$ tal que $V\cap C=\{x_\xi\}$ . Sea $x_\eta$ sea cualquier otro elemento de $D$ ; si $\eta<\xi$ entonces $x_\eta\in C$ Así que $x_\eta\notin V$ y si $\eta>\xi$ entonces $x_\eta\notin U_\xi$ . Así, $V\cap U_\xi$ es un nbhd abierto de $x_\xi$ que no contiene ningún otro elemento de $D$ . Desde $x_\xi$ era un elemento arbitrario de $D$ , $D$ es discreto, es decir, $D\in\mathscr{D}$ . Claramente $C\preceq D$ para todos $C\in\mathscr{C}$ Así que $D$ es un límite superior para $\mathscr{C}$ en $\mathscr{D}$ y por el lema de Zorn $\mathscr{D}$ tiene un elemento máximo $M$ .

Dejemos que $K=\operatorname{cl}M$ ; $M$ es discreto, por lo que $K$ es compacto. Además, la maximalidad de $M$ implica que $M$ es denso en $Y$ y por lo tanto que $K\supseteq Y$ . $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $K$ por lo que tiene una subcubierta finita, y como $\mathscr{U}$ es un nido creciente de conjuntos abiertos, hay algún $\eta<\kappa$ tal que $Y\subseteq K\subseteq U_\eta$ lo cual es absurdo, ya que por ejemplo $x_{\eta+1}\in Y\setminus U_\eta$ . Esta contradicción demuestra que $X$ debe ser compacto.

(El argumento del lema de Zorn puede, por supuesto, sustituirse por una recursión transfinita directa para construir $M$ .)

Answer 2

Puede encontrar una respuesta en este interesante documento: Los cierres de los conjuntos discretos suelen reflejar propiedades globales (teorema 2.5). (La prueba es, de hecho, una inducción bien elegida).

Answer 3

Continuando con lo que dijo Bryce más arriba .implica que todo conjunto infinito no es discreto.Así que dado un conjunto infinito hay un punto límite x tal que cada vecindad de éste contiene todos los puntos de la secuencia.Así que x es un punto de acumulación completo.De ahí que todo subconjunto infinito de X tenga un punto de acumulación completo.De ahí que X sea compacto