Finitely generado proyectiva módulo

Question

Alguien me puede ayudar como para mostrar que un finitely generado proyectiva módulo a través de un anillo local y PID son gratis?

Lo que yo sé acerca de un finitely generado proyectiva módulo de $M$ más de un PID $R$ es isomorfo a $R^k\oplus R/(a_1)\oplus\dots\oplus R/(a_n)$, y para el anillo local el caso de no saber cómo empezar.

Answer 1

Para el caso de $R$ es un anillo local es un corolario de Nakayama del lexema.

Como la notación en el enlace de arriba, supongamos $M$ es un finito generado proyectiva en el módulo $R$, entonces, primero, escoja un número mínimo de generadores, es decir, $M=Rm_1+\cdots +Rm_k$, e $k$ es el mínimo número con esta propiedad, por lo que tenemos una descomposición

$$R^k=M\oplus N,$$ then, we are left to prove $N=0$.

En primer lugar, la aplicación de $R/I\otimes-$ donde $I$ es el único ideal maximal en $R$, entonces tenemos $$(R/I)^k=M/IM\oplus N/IN,$$ and note that $M/IM$, $N/A$ are vector spaces over the field $R/I$, so by comparing the dimension, we get $N/EN=0$, i.e., $N=EN$, entonces, utilizamos la Nakayama del lema, la Declaración 1 en el enlace de arriba, obtenemos $r\in 1+I$, de tal manera que $rN=0$, pero $r\not \in I$ $R$ es local implica $r$ es una unidad, por lo $N=0$.

Observaciones. 1) Para obtener la elección de $k$, lo primero que se puede asumir $k=\dim_{R/I}(M/IM)$, a continuación, utilice la Declaración de 4 en el enlace de arriba para levantar la base de la $M/IM$ para obtener un conjunto mínimo de generadores de $M$.

2) Un profundo teorema de Kaplansky dice que cualquier módulos proyectivos (no necesariamente finitely generado) sobre un anillo local es libre.

Answer 2

Para un PID está casi hecho. Observar que un proyectiva módulo no tiene ningún elemento finito de orden y por lo tanto todos los torsión partes tienen que desaparecer.

Para locales de los anillos de esto no es trivial y no tengo el tiempo justo saber para dar una completa probar. La idea sin embargo es escribir $$R^n=P\oplus Q$$ for a given projective module $P$ and set $p:R^n\R^n$ a ser la composición

$$p:R^n\xrightarrow{\cong} P\oplus Q \xrightarrow{id\oplus 0}P\oplus Q\xrightarrow{\cong} R^n$$

Entonces, uno puede mostrar que $P\cong im(p)$ y que existe una base de $R^n$ de manera tal que la representación de la matriz de $p$ tiene una identidad de bloque y ceros en todas las demás. Esto termina la prueba.