Dos disjuntas real proyectiva planos en el real proyectiva del espacio?

Question

Deje $\mathbb{R}\mathbb{P}^3$ ser el real proyectiva espacio de tres. Está claro que cualquiera de los dos hyperplanes en $\mathbb{R}\mathbb{P}^3$ se cruzan. Pero me pregunto si se podría incrustar dos copias de la real proyectiva del plano de alguna manera a$\mathbb{R}\mathbb{P}^3$, de modo que las imágenes son disjuntas:

Puedo encontrar dos subconjuntos $P_1, P_2 \subseteq \mathbb{R}\mathbb{P}^3$ que son distintos y ambos homeomórficos a la real proyectiva avión $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$?

Answer 1

Si usted podría incrustar dos copias de $\Bbb{RP}^2$ de tal manera que no se cruzan, se podría exigir que el segundo, de estar fuera (lo suficientemente pequeño) tubular barrio de la primera. El tubular barrio de cualquier incrustado $\Bbb{RP}^2$ es trivial por Stiefel-Whitney número de manipulaciones. El límite de un tubular de barrio es una 2-esfera. $\Bbb{RP}^3$ es una irreductible 3-colector, por lo que este 2-esfera se divide $\Bbb{RP}^3$ en dos lados, uno de los cuales es una 3-bola. El segundo $\Bbb{RP}^3$ se encuentra dentro de la 3-bola (ya que es en el otro lado de la frontera de los tubulares barrio de la primera $\Bbb{RP}^3$!). Esta es una contradicción - $\Bbb{RP}^2$ no incrusta en $\Bbb R^3$.

Este mismo argumento se generaliza. Una copia de $\Bbb{RP}^n$ ($n>1$) en $\Bbb{RP}^{n+1}$ tiene un tubular de barrio; en la frontera de la pieza tubular barrio es una esfera $S^n$ que separa el colector. Queremos averiguar lo que está en el otro lado. Levantar esta esfera a la cobertura universal; por el Schoenflies teorema de que los límites a (topológicas, al menos) de la bola. Se puede comprobar que la restricción de la cobertura del mapa a esta bola es todavía una cubierta de mapas, y por lo tanto una sábana, por lo que tuvimos limitada de un (topológico) $(n+1)$-ball en $\Bbb{RP}^{n+1}$. Ahora $\Bbb{RP}^n$ no se puede incrustar en $\Bbb R^{n+1}$, incluso topológicamente. Así que no se puede incrustar dos copias disjuntas de $\Bbb{RP}^n$ dentro de $\Bbb{RP}^{n+1}$, $n>1$.

(Obviamente, puede incrustar un montón de distintos círculos en $\Bbb{RP}^2$. Sin embargo, en el espíritu de la pregunta, si se le preguntaba "¿puedo disjointly incrustar dos copias de $\Bbb{RP}^1$ que tiene la banda de Möbius como su normal paquete?", la respuesta sería no, por el mismo argumento + cualquier curva en el plano tiene trivial normal en paquete.)