Minimizar la función exponencial con un intervalo

Question

Quiero minimizar la función $$f(x) = e^{ax^2} + e^{b(1-x)}$$ con respecto a $x$ (donde $a$ $b$ son constantes), sujeto a la restricción de que $0 \leq x \leq 1$.

Sé que $x = 0$ $x = 1$ son ambos puntos críticos, pero estoy interesado en conocer el potencial mínimo, el cual se encuentra entre los valores de límite.

Seguramente el primer paso es definir la derivada igual a $0$, lo que da $$0 = f'(x) = 2axe^{ax^2} - be^{b(1-x)}$$ La minimización $x$ debe resolver,$2axe^{ax^2} = be^{b(1-x)}$, pero no estoy seguro de cómo "usar" la restricción $0 \leq x \leq 1$ a hacerlo...

Nota: En mi problema, he a $a = -\frac{N}{16}$ $b = -\frac{N}{4} (\frac{1}{2} - p)^2$ donde $N$ es una constante positiva entero, y $p$ es una constante con $0 \leq p < \frac{1}{2}$. Idealmente, vamos a ser capaces de expresar reducir a un mínimo la $x$ en términos de$N$$p$.

Answer 1

Si $b \neq 0$ $2ax \geq b$ todos los $0 \leq x \leq 1$ $ax^2-bx+b$ es el aumento en $0 \leq x \leq 1$$\frac{2a}{b} e^a \leq 1$. Estas declaraciones implican que

$$\frac{2ax}{b}e^{ax^2 - bx + b} < 1$$

para $0 \leq x < 1$, lo que significa que $f'(x) \neq 0$ no. Por lo tanto se puede concluir que el mínimo se produce en uno de los extremos.

¿Qué restricciones hay en $a$$b$? Quizás argumentos similares existentes en otros casos específicos.

Edit: Como yo probablemente no tienen suficiente tiempo para trabajar en esto en los próximos 7 días voy a bosquejar aquí lo que yo estaba pensando en la esperanza de que va a beneficiar a los demás. Mi objetivo era poner un límite inferior en el mínimo de la función $f(x) = e^{ax^2} + e^{b(1-x)}$ con las restricciones de $a$ $b$ en la nota al final de la pregunta.

Para $y > 0$, en sustitución de

$$e^{ax^2} \hspace{0.5 cm} \text{con} \hspace{0.5 cm} \frac{1}{y+e^{-ax^2}}$$

o

$$e^{b(1-x)} \hspace{0.5 cm} \text{con} \hspace{0.5 cm} \frac{1}{y+e^{-b(1-x)}}$$

en $f(x)$ dará lugar a una función de $f_y(x)$, que es menos de $f(x)$. Dependiendo de la elección fue hecha, $f_y'(x)$ será positivo o valor no positivo para $y$ lo suficientemente grande.

Para determinar qué tan grande debe ser, hemos de empezar por la solución de $f_y'(x) = 0$$y$, que creo que siempre va a reducir a una ecuación cuadrática. Estas dos raíces de $f_y'(x) = 0$ son funciones de la $x$ que creo que siempre se puede hacer menos de una suma de dos exponenciales. Esta suma será delimitada (puesto que x es acotado), por lo que nos gustaría encontrar una cota superior (a elminate la $x$ dependencia). Aquí habría tratado de utilizar la desigualdad de $e^x \leq 1/(1-x)$, el cual tiene por $x<1$, enlazado a esta suma de exponenciales arriba por una suma de funciones racionales. Así terminamos querer resolver algo como

$$y > \frac{1}{1-p(x)} + \frac{1}{1-p(x)}$$

donde $p(x)$ $q(x)$ son cuártica (o menos) y $0 \leq x \leq 1$. Un límite superior de la mano derecha, en teoría, es posible anotar. Tomando $y$ más grande que esto hará $f_y(x)$ monótona, y hance el mínimo de $f(x)$ será mayor que el menor de extremo de $f_y(x)$, cuya altura puede (teóricamente) ser calculado.

Answer 2

Siempre conecte los valores límite. Optima se producen entre los puntos críticos; la oundary valores son, por definición crítica. Aquí $f(0)= e^b$, mientras que $f(1)=e^a.$ encontrar sus otros puntos críticos, trate de dividir a un lado por el otro.