Equicontinuity en un espacio métrico compacto convierte pointwise a la convergencia uniforme

Question

Sé que

Si $\{f_n\}$ es un equicontinuous secuencia, que se define en un espacio métrico compacto $K$, y para todos los $x$, $f_n(x)\rightarrow f(x)$, a continuación, $f_n\rightarrow f$ uniformemente.

Estoy teniendo problemas para probar esto. Veo el mismo problema aquí , pero estoy teniendo problemas tras la prueba, especialmente con la parte (3).

Puede alguien me guía a través de una prueba de este resultado?

Answer 1

Deje $\varepsilon>0$, vamos a demostrar que existe una $n_0=n_0(\varepsilon)$, de tal manera que, $$ n\ge n_0\quad\Longrightarrow\quad \lvert\, f_n(x)-f(x)\rvert<\varepsilon, $$ para todos los $x\in K$.

1. Como $\{f_n\}$ es equicontinuous, existe un $\delta>0$, de tal manera que $$ d(x,y)<\delta\quad\Longrightarrow\quad \lvert\, f_n(x)-f_n(y)\rvert<\frac{\varepsilon}{3}, $$ para todos los $x,y\in K$. También, dejando $n\to\infty$ (fija $x,y$) obtenemos $$ d(x,y)<\delta\quad\Longrightarrow\quad \lvert\, f(x)-f(y)\rvert\le \frac{\varepsilon}{3}, $$

2. Como $K$ es compacto, puede ser cubierto por un número finito de bolas de radio $\delta$, es decir, existe $z_1,\ldots,z_k\in K$, de tal manera que $$ K\subconjunto de B(z_1,\delta)\cup\cdots\cup B(z_k,\delta). $$

3. Como $f_n(z_j)\to f(z_j)$$j=1,\ldots,k$, podemos encontrar $n_0$, de tal manera que $$ n\ge n_0\quad\Longrightarrow\quad \lvert\, f_n(z_j)-f(z_j)\rvert<\frac\varepsilon 3, $$ para $j=1,\ldots,k$.

4. Por último, vamos a $x\in K$$n\ge n_0$. Entonces, hay un $j=1,\ldots,k$, por lo que $x\in B(z_j,\delta)$ y por lo tanto $$ \lvert\, f_n(x)-f(x)\rvert\le \lvert\, f_n(x)-f_n(z_j)\rvert +\lvert\, f_n(z_j)-f(z_j)\rvert +\lvert\, f(z_j)-f(x)\rvert< \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}={\varepsilon}. $$ Ὅπερ ἔδει δεῖξαι.