Grupo de teoría intrincado problema

Question

Este es Miklos Schweitzer 2009 Problema 6. Es un grupo de teoría problema oculto en un lenguaje complicado.

Un conjunto de sistema de $(S,L)$ se llama Steiner sistema de triple si $L \neq \emptyset$, cualquier par $x,y \in S, x \neq y$ de los puntos se encuentran en una única línea de $\ell \in L$, y cada línea de $\ell \in L$ contiene exactamente tres puntos. Deje $(S,L)$ ser una Steiner sistema de triple, y vamos a denotar por $xy$ el tercer punto en una línea determinada por los puntos de $x \neq y$. Deje $A$ ser un grupo cuyo factor de su centro $C(A)$ es de primer poder de la orden. Deje $f,h:S \to A$ ser mapas, que $C(A)$ contiene el rango de $f$, y el rango de $h$ genera $A$. Demostrar que si $$ f(x)=h(x)h(y)h(x)h(xy)$$ holds for all pairs of points $x \neq y$, then $$ is commutative and there exists an element $k \en Un$ such that $$ f(x)= k h(x),\ \forall x \in S $$

Aquí es lo que tengo:

• Debido a que la imagen de $h$ genera $A$ $A$ a ser conmutativa es suficiente para probar que $h(x)h(y)=h(y)h(x)$ por cada $x,y \in S$.

• Para el último de identidad para ser verdad (si lo hemos comprobado la conmutatividad) es suficiente para que el producto $h(x)h(y)h(xy)=k$ por cada $x \neq y$.

• $h(y)h(x)h(xy)=h(xy)h(x)h(y)$

• Que debo usar en algún lugar el hecho de que el factor de $A /C(A)$ tiene la primera energía de la orden.

Answer 1

Deje $A^1 := A/C(A)$ $h^1(x)$ la clase de equivalencia en $A^1$ $h(x)$ pertenece. Para cada par $x, y\in S$ hemos $$ \begin{gather} h^1(x)^2 = e \\ h^1(x)h^1(y)h^1(x)h^1(xy) = e \tag 1\\ h^1(xy)h^1(y)h^1(xy)h^1(x) = e \end{reunir} $$ A partir de las igualdades anteriores se puede concluir que si $h^1(x) \in C(A^1)$ $$ h^1(x) = h^1(y) $$ para cada una de las $y\in S$, y así podemos reescribir $h(x)$, para cada una de las $x\in S$, como $$ h(x) = c(x)k $$ donde$k\in A$$c(x)\in C(A)$. Naturalmente, tenemos: $$ h(x)h(y) = c(x) k c(y) k= c(y) k c(x) k = h(y)h(x) $$ por lo tanto, $h(x)\in C(A)$ por cada $x\in S$, y el problema está resuelto.

Ahora debemos preocuparnos por el caso cuando no $h^1(x)$ pertenece a $C(A^1)$.

Deje $A^2 := A^1/C(A^1)$ $h^2(x)$ la clase de equivalencia en $A^2$ $h^1(x)$ pertenece.
Desde $o(A^1) = 2^{n_1}$, $C(A^1) \ne \{ e \}$ y $o(A^2) = 2^{n_2}$$n_2 < n_1$.
Además para cada par $x, y\in S$, $h^2(x)$, $h^2(y)$ satisfacer las relaciones similar a (1).

En este punto, se puede repetir para $A^2$ $h^2(x)$ el anterior razonamiento y la conclusión de que si $h^2(x)\in C(A^2)$ algunos $x\in S$$h^1(x)\in C(A^1)$, contrario a la hipótesis.
Por lo tanto, debemos suponer no $h^2(x)$ pertenece a $C(A^2)$.
Luego construimos el grupo $A^3 := A^2/C(A^2)$ con el fin de $o(A^3) = 2^{n_3}$$n_3 < n_2$, y repito una vez más los pasos anteriores.

Repitiendo el procedimiento anterior llegaremos a un grupo abelian $A^i$ (si no antes, cuando se $o(A^i)\le 4$) y a una contradicción, por lo que la conmutatividad de la Una será establecido.

Ser $A$ conmutativa, para cada par $x,y\in S$ podemos escribir: $$ g(x) = h(x-y) g(y) h(x-y)^{-1} = g(y) $$ donde $g(x) := h(x)^{-1}f(x)$, y por lo tanto para cada una de las $x\in S$ $$ f(x) = k h(x) $$

Answer 2

Deje $g:S\rightarrow A$ se define como $g(x) = h(x)^{-1} f(x)$.

Ahora, si $\{x,y,z\}\in L$,$g(y) = h(z)g(x)h(z)^{-1}$. Esto significa que la imagen de $g$ es cerrado bajo la conjugación de los elementos de $A$ desde $A$ es generado por la imagen de $h.$

También, ya que esta fórmula no depende del orden de $x,y,z$, significa que $g(x)=h(z)g(y)h(z)^{-1}$. En particular, a continuación, $h(z)^2$ viajes con $g(x)$ todos los $x$.

Pero desde $f(x)$ está en el centro de la $A$, lo que significa que $h(z)^2$ viajes con $h(x)$ todos los $x, z\in S$. Por lo tanto $h(z)^2$ viajes con todos los de $A$ - que es $h(z)^2\in C(A)$, lo $A/C(A)$ es generado por los elementos de orden $2$, de modo que por la condición del problema, $A/C(A)$ deben ser de orden $2^n$ algunos $n$.

Ahora, desde la $g(x)=h(y)h(x)h(z) = h(z)h(x)h(y)$, podemos ver que:

$$g(x)^2 = h(y)h(x)h(z)h(z)h(x)h(y) = h(x)^2 h(y)^2 h(z)^2$$

Por lo tanto, $g(x)^2 = g(y)^2 = g(z)^2$, y, en particular, para todos los $x,y \in S$, $g(x)^2 = g(y)^2$. Así que hay algo de $K\in C(A)$ tal que $\forall x\in S, g(x)^2=K$.

Hay un montón de cosas que se puede concluir de saber que $h(x)^2\in C(A)$. Por ejemplo, que el $f(x)f(y) {f(z)}^{-1}= h(x)^2 h(y)^2$. Que puede ser utilizado para demostrar que la $f(x)f(y)f(z) = h(x)^4h(y)^4h(z)^4 = K^2$.

No sabe a dónde ir desde aquí.