La forma cerrada de la fórmula para $\sum\limits_{k=1}^n k^k$

Question

Es allí una manera de encontrar una fórmula para $\sum\limits_{k=1}^n k^k$? Tal vez me estoy perdiendo de algo muy obvio, pero he mirado un poco en Internet y no he sido capaz de encontrar nada.

Así que, lo que estoy buscando es una fórmula en forma cerrada para generar la secuencia de $1,5,32,288,3413,\dots$

Answer 1

Eche un vistazo en OEIS - que al parecer no hay una simple forma cerrada.

Los enlaces de papel está disponible aquí

El dado es obligado

$$n^n\left( \frac{4n-3}{4n-4} \right) \le 1^1 + 2^2 + \cdots + n^n < n^n \left(\frac{2+e(n-1)}{e(n-1)}\right)$$

Answer 2

La OEIS no muestra una forma cerrada para esta secuencia, sólo señalar que $a_{n+1}/a_n>en$, e $a_{n+1}/a_n\to en$$n\to\infty$. También hay una lista de los 100 primeros valores de la secuencia de aquí.

Answer 3

Me gustaría escribir la desigualdad como

$$ n^n\left( 1+\frac{1}{4(n-1)} \right) \le 1^1 + 2^2 + \cdots + n^n < n^n \left(1+\frac{2}{e(n-1)}\right) $$

para mostrar mejor los límites.