Estoy teniendo problemas con los siguientes deberes problema, y estaba esperando que alguien podría darme una pista: tengo conectado a un CW espacio de $X$ que tiene un continuo asociativo de operación $(x,\ y)\mapsto x\circ y$. También se da que $x\circ x=x$ cualquier $x\in X$ y que existe cierta $e\in X$ tal que $x\circ e=e\circ x$ todos los $x\in X$. Necesito mostrar que $X$ es contráctiles.
He notado que por Whitehead del teorema, es suficiente para demostrar que todos los homotopy grupos de $X$ se desvanecen. Así que yo estaba pensando en usar el opertation $\circ$ a mostrar que cualquier mapa de $f:(S^n,\sigma_0)\to (X,\ e)$ es homotópica a la constante mapa a $e$ (de alguna manera este distinguido punto de $e$ le parece sospechoso).
He considerado, por ejemplo, $\phi :S^n\times I\to X$ $(x,\ t)\mapsto f(x)\circ \gamma_x (t)$ donde $\gamma_x $ es un camino de$e$$f(x)$. En $t=0$ obtenemos el mapa de $x\mapsto f(x)\circ e$, y en t=1 obtenemos el mapa de $x \mapsto f(x)\circ f(x)=f(x)$. Si de alguna manera yo sabía cómo elegir $\phi$ ser continua (es decir, si yo sabía cómo elegir el $\gamma_x$), y que si yo sabía que $e\circ x=e$ todos los $e$, $\phi$ sería el deseado homotopy.
Pero no tengo idea de cómo hacer $\phi $ continuo, y veo ninguna razón por la $e\circ x=e$ deben tener. Además, todavía no he utilizado la asociatividad de $\circ$ o el hecho de que $e$ viajes de todos los puntos de $x$. En resumen, dudo mucho que estoy en el camino correcto.
Cualquier sugerencia sería muy apreciada!
Gracias,
Roy
