Orden de elementos de grupos abelianos

Question

¿Cómo puedo probar que si $G$ es un grupo Abelian con elementos de $a$ y $b$ con pedidos de más de $m$ y $n$, respectivamente, de $G$ contiene un elemento cuyo fin es el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$?

Es un ejercicio de Hungerford del libro, pero no a la tarea. Yo no podía resolver cuando yo tome el curso en grupos y creo que debería ser fácil. Hay una pista que dice que probar primero cuando $m$ y $n$ se coprimes. Hice esta parte. Pero no tengo idea de cómo resolver el caso general.

Gracias.

Answer 1

Vamos a $n = \prod_i p_i^{n_i}$ y $m = \prod_i p_i^{m_i}$, donde $p_i$s son los mismos. Por lo tanto $\mathrm{lcm}(n,m) = \prod_i p_i^{\max(n_i,m_i)}$. Vamos a $N = \{ i : n_i \geq m_i \}$ y $M = \{ i : n_i < m_i \}$. Definir $n' = \prod_{i \in N} p_i^{n_i}$ y $m' = \prod_{i \in M} p_i^{m_i}$. Ahora $a' = a^{n/n"}$ es de orden $n$ y $b' = b^{m/m'}$ es de orden m$'$. Desde $n',m'$ se coprime, sabemos que hay un elemento de orden $n m' = \mathrm{lcm}(n,m)$.

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También se puede demostrar que el uso de la estructura teorema de abelian grupos, pero eso es una exageración.

Answer 2

A continuación es una prueba inductiva extraído de mi post en este estado de hilo aquí.

LEMA $\ $ finita grupo abelian $\rm\:G\:$ tiene una lcm-cerrado orden establecido, es decir, $\rm\: s(X) = $ de $\rm\: X$

$\rm\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ X,Y \in G\ \ \Rightarrow\ \ \exists\ Z \G:\ o(Z) = lcm(s(X),s(Y))$

Prueba $\ \ $ Por inducción sobre $\rm s(X)\ s(Y)\:.\ $ Si $\:1\:$ entonces trivialmente $\rm\:Z = 1\:$. $\ $ Lo contrario

escribe $\rm\ o(X)\ =\ AP\: \ \ o(Y) = BP',\ \ \ P'|P = p^m > 1\:,\ \ $ primer $\rm\ p\:$ coprime $\rm\:, B$

Entonces $\rm\: o(X^P) = A,\ \ o(Y^{P'}) = B\:.\ $ Por inducción hay un $\rm\: Z\:$ $\rm \: s(Z) = mcm(a,B)$

por lo que $\rm\ \ o(X^A\: Z)\: =\: P\ lcm(a,B)\: =\: lcm(AP,BP')\: =\: lcm(s(X),s(Y))\:$.

NOTA $\ \ $ Este es el elemento sabio forma de lo que se conoce como "Herstein más difíciles del problema", viz. 2.5.11, p. 41 en la primera edición de Herstein del popular libro "Temas de Álgebra". En la 2ª edición Herstein añadió la siguiente nota (problema 2.5.26, p.48)

No se desanime si usted no recibe este problema con lo que sabemos de la teoría de grupo hasta esta etapa. Yo no conozco a nadie, incluyéndome a mí, que lo ha hecho sujeto a la restricción de la utilización de material desarrollado hasta ahora en el texto. Pero es divertido intentarlo. He tenido más de correspondencia sobre este problema que acerca de cualquier otro punto en el que todo el libro."

Answer 3

Tanto las respuestas que se han recibido proporcionar las respuestas correctas. De hecho, usted no necesita ir tan lejos como para obtener elementos de relativamente primer órdenes; todo lo que usted necesita preocuparse acerca de los números primos con la propiedad de que dividir $nm$, y la mayor potencia de p $$ que divide a $n$ es igual a la mayor potencia de p $$ que divide $m$.

Lema. Deje que $x$ y $y$ se de desplazamientos de los elementos de un grupo $G$, y se asume que $x$ y $y$ son finitas de pedidos de más de $n$ y $m$, respectivamente. Supongamos que para cada prime $p$ que divide a $nm$, la mayor potencia de p $$ que divide a $n$ es diferente de la mayor potencia de p $$ que divide $m$. A continuación, el orden de los $xy$ de $G$ es $\mathrm{lcm}(n,m)$.

Prueba. Deje que $\ell=\mathrm{lcm}(n,m)$. Es fácil comprobar que $(xy)^{\ell}=1$, por lo que sólo tenemos que demostrar que $\ell$ es el menor entero positivo de $k$ que $(xy)^k=1$. Suponga que $(xy)^k = 1$, con $0\lt k\leq \ell$.

Desde $(xy)^k = x^ky^k = 1$, entonces $x^k = y^{-k}$, y, en particular, $x^k$ tiene el mismo orden de $y^k$. El orden de $x^k$ es $n/\gcd(n,k)$, y el orden de us $y^k$ es $m/\gcd(n,k)$. Deje que $p$ ser un primo que divide a $\ell$, y dejar que $a=\mathrm{ord}_p(n)$, $b=\mathrm{ord}_p(m)$ y $c=\mathrm{ord}_p(k)$. Se asume que $b\lt$. Si $c\lt a$, entonces $\mathrm{ord}_p(n/\gcd(n,k)) = a-c$ y $\mathrm{ord}_p(m/\gcd(m,k))=\max(0,b-c)\lt a-c$, lo cual es imposible. Por lo tanto, $c=$. Un simétrica argumento muestra que si $a\lt b$, $c=b$. Que es, para todos los números primos p $$ que dividir $\ell$ tenemos $\mathrm{ord}_p(k) = \max(\mathrm{ord}_p(n),\mathrm{ord}_p(n)) = \mathrm{ord}_p(\ell)$. Por lo tanto $k=\ell$. QED

Así que ahora suponga que $a$ es un elemento de orden $n$ en un grupo abelian, y dejar que $b$ a ser un elemento de orden $m$. Deje de $p_1,\ldots,p_k$ ser los primos que dividen a $nm$ y que $p$-$p_i$ en $m$ y $n$ son iguales. Entonces $$\mathrm{lcm}(n,m) = \mathrm{lcm}\left(n, \frac{m}{p_1\cdots p_k}\right).$$ Desde $m/(p_1\cdots p_k)$ es del orden de $b^{p_1\cdots p_k}$, entonces se sigue del lema que $ab^{p_1\cdots p_k}$ tiene orden de $\mathrm{lcm}(n,m)$, como se desee.

Answer 4

Esto se vuelve bastante fácil una vez que sabes las siguientes estructurales

Teorema. Cualquier Abelian de torsión grupo es canónicamente isomorfo a la suma directa de su $p$-torsión subgrupos para todos los números primos$~p$.

Aquí el $p$-torsión subgrupo es el subgrupo de elementos de orden algunas de alimentación de$~p$. Tenga en cuenta que esta no es la estructura teorema de finitely generado Abelian grupos, ya que no tiene la finitud requisito (y en el otro lado sólo consiste en la torsión de los elementos, que por supuesto tienen algunos locales de la finitud).

Para ver por qué el teorema implica la solicitada resultado, $a$ y $b$ seguramente viven en la torsión de los subgrupos de $G$, y ver que como la indicada suma directa, es suficiente para demostrar el resultado en cada uno de los $p$-torsión subgrupo por separado (que se aplica a los componentes de $a$ y $b$ en que sumando, y la combinación de la nueva $p$-torsión de los elementos de modo que se encuentran como componentes de un elemento de torsión de$~G$). Pero en un $p$-torsión grupo el resultado es trivial: $\operatorname{lcm}(p^i,p^j)\in\{p^i,p^j\}$, uno puede simplemente seleccione el elemento con el mayor orden como el nuevo elemento.

La prueba del teorema se basa en la propiedad: para cada prime $p$, cada elemento de torsión $x$ puede únicamente ser escrito como el producto de un $p$-torsión elemento de $g$, y un co-$p$-torsión elemento $h$ (un elemento con el fin de relativamente primos$~p$). Esto se deduce del teorema del resto Chino para cíclico grupos: da que si $x=gh$ es un producto, entonces $g$ y $h$ ambos se encuentran en el grupo cíclico generado por valor de $x$, y también que dentro de ese grupo cíclico existe un único tal par $g,h$. Luego de $g$ es el componente de $x$ en la $p$-torsión subgrupo, una combinación de estos componentes para la totalidad de los $p$ proporciona una inversa (la prueba es fácil) a la obvia la incorporación de la suma directa de los $p$-torsión subgrupos en la torsión subgrupo de $G$.

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Lo que sucede en cada $p$-torsión componente es trivial, pero nada que ver con lo que sucede en otros números primos. Esto explica por qué el resultado requiere la ruptura del problema a través de diferentes números primos; por lo que puedo decir a todos los dado pruebas de ello, de alguna manera u otra.